Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 12. 2017 23:24

check_drummer
Příspěvky: 2507
Reputace:   65 
 

Mohutnost modelů úplné teorie

Ahoj,
následující není úloha, ale spíše úvaha. Děkuji předem za polemiku s ní.

Nechť je dána úplná teorie T (tj. každá uzavřená formule nebo její negace je dokazatelná) s predikátem rovnosti.
Označme jako S(n) tvrzení "existuje n různých prvků". Formálně lze např. S(3) vyjádřit jako
$(\exists x,y,z) x \neq y \wedge x \neq z \wedge y \neq z$ (a pro každé n lze výrok S(n) podobně formálně zapsat).
Potom pokud by existovaly pro m<n modely M(m) a M(n) teorie T o počtu prvků m a n, tak by v M(m) nemohlo platit S(n), které platí v M(n) - a tedy by S(n) ani jeho negace neplatilo současně v obou modelech M(m) a M(n) a tedy by S(n) ani jeho negace nemohla být dokazatelná, což je spor s úplností T. Tedy pokud má T nějaké konečné modely, tak musí mít všechny stejnou mohutnost.

A pokud bychom dovedli nějak formalizovat výroky P(K) tvaru "Existuje množina stejné mohutnosti jako kardinál K" (pro libovolný kardinál K), tak bychom stejnou úvahou mohli dospět k tomu, že všechny modely teorie T musí mít stejnou mohutnost. Případně, že všechny modely o menší mohutnosti než jistý kardinál L (pokud bychom dovedli P(K) formalizovat jen pro K o menší mohutnosti než L) mají stejnou mohutnost.

Je ve výše uvedených úvahách nějaká chyba? Pokud ne, tak je to docela zajímavé zjištění.


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#2 23. 01. 2018 18:42 — Editoval Wotton (23. 01. 2018 21:21)

Wotton
Logik
Místo: Plzeň
Příspěvky: 802
Reputace:   24 
 

Re: Mohutnost modelů úplné teorie

Ahoj,
tvoje úvaha pro konečné modely je víceméně správná a dá do použít i pro teorie neúplné (samozřejmě jen některé případy).

Pro nekonečné modely ale nic podobného neplatí. Existuje věta (tuším že to plyne z věty o kompaktnosti), která tvrdí že pokud má teorie nekonečný model, tak má model libovolné nekonečné kardinality (zdola omezeno mohutností jazyka teorie).

EDIT: ta zmiňovaná věta je: Löwenheimova-Skolemova


Dva jsou tisíckrát jeden.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson