Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 02. 2018 17:20

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Analytická geometrie - přímka

Ahoj, chtěla bych se zeptat na dva příklady, zda počítám dobře.

Určete rovnici přímky, která prochází daným bodem a je rovnoběžná s danou přímkou: a)  x + 2y – 4 = 0, A(2;-1)

Určete rovnici přímky, která prochází daným bodem a je kolmá k dané přímce:   
a)  5x – 2y – 3 = 0, M(1;2)

Je možné, že mi u prvního příkladu vyšlo C = 0

Určete vzdálenost daných bodů od přímky p:
b)  R(1;- 2), x = - 1 + 2t, y = 3 – 5t

a může u tohoto příkladu vyjít vzdálenost 0 lomeno odmocninou? Děkuju moc!

Offline

 

#2 14. 02. 2018 17:43

Jj
Příspěvky: 6726
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   496 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:

Dobrý den.

ad b) Ano, pokud bod R leží na zadané přímce (tzn. pokud jeho vzdálenost od přímky = 0).

U ostatních příkladů nevím, na co (a zda vůbec) se vlastně ptáte.
Můžete to upřesnit a taky napsat, k čemu jste došla?


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#3 14. 02. 2018 18:28

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

Toto je mé zadání, proto se ptám, protože sama nevím. Zda se má vytvořit ta druhá rovnice
Prvně ta rovnoběžná s tou první a u dalšího příkladu kolmá s tou napsanou? Vážně nevím, toto je jediné zadání.
Takže myslíte, že vzdálenost může vyjít 0/odmocnina z 29?

Offline

 

#4 14. 02. 2018 18:42

Jj
Příspěvky: 6726
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   496 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:

Zadání je v pořádku. Ano, u prvních příkladů je třeba vypočítat rovnici požadované kolmice nebo rovnoběžky.

ad b) Už jsem napsal, že to může být v případě, že bod R leží na zadané přímce. Tak se o tom přesvědčte. Zda tam má být pod odmocninou zrovna 29 nemožu vědět, když tu nepíšete konkrétní postup.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#5 14. 02. 2018 18:49 — Editoval Ferdish (14. 02. 2018 18:51)

Ferdish
Příspěvky: 548
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: ml. vedecký pracovník
Reputace:   22 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

Zo všeobecnej rovnice priamky sa podľa definície dajú priamo vyčítať 2 údaje:
- súranice normálového vektora
- hodnota (veľkosť) skalárneho súčinu medzi normálovým vektorom priamky a polohovým vektorom ľubovoľného bodu patriaceho tejto priamke


K príkladom:

1a) rovnobežné priamky = priamky, ktorých smerové vektory sú tiež rovnobežné (lineárne závislé). To isté platí aj o ich normálových vektoroch.

2a) kolmé priamky = to isté ako hore s tým rozdielom, že vektory sú navzájom kolmé.


S využitím týchto informácií a daných údajov by nemal byť problém vypočítať jednotlivé koeficienty hľadaných priamok...zredukuje sa to vlastne na 2 úlohy na výpočet lineárnej rovnice s jednou neznámou.

Offline

 

#6 14. 02. 2018 19:02

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

U rovnoběžné rovnice, která zněla x + 2y - 4 = 0, A = (2, -1)
určila jsem si normálový vektor, který je (1,2)
a udělala rovnici x + 2y - c = 0
z toho : 2 - 2 - c = 0
tedy C = 0
rovnice mi vyšla x + 2y = 0

U kolmé to mám takto: zadání - 5x - 2y - 3 = 0 , M (1,2)
určila jsem normálový vektor (5,-2)
a směrový vektor (5, -2) a normálový (2,5)
z toho: 2x - 5y - c = 0
2 - 10 = c
-8 = c
tedy rovnice je: 2x - 5y + 8 = O

Offline

 

#7 14. 02. 2018 19:03

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

Tu vzdálenost mám takto. Zadání : R (1, -2)
x = -1 + 2t
y = 3- 5t
upravila jsem ji na : 5x + 2y - 1 = 0
a vzdálenost vypočítala a vyšlo mi : 0/ odmocnina z 29.

Offline

 

#8 14. 02. 2018 19:10

vlado_bb
Příspěvky: 2923
Škola:
Reputace:   82 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14: Po tretom zopakovani si dovolim otazku - vies ako sa da jednoduchsie zapisat cislo 0/ odmocnina z 29?

Offline

 

#9 14. 02. 2018 19:11

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

právěže netuším :D

Offline

 

#10 14. 02. 2018 19:16

vlado_bb
Příspěvky: 2923
Škola:
Reputace:   82 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14: Tusil som to. A napriklad $\frac 03$ by si vedela zjednodusit?

Offline

 

#11 14. 02. 2018 19:18

Jj
Příspěvky: 6726
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   496 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:

Pokud nezapomínáte na zkoušku (zda nalezená přímka prochází zadaným bodem, zda se zadaným bodem svírá příslušný úhel), tak zjistíte, že

- první příklad je v pořádku,
- ve druhém něco nehraje.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#12 14. 02. 2018 20:49

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

bohužel vůbec netuším, jak se zkouška dělá.
A nevíte, co je v druhém příkladě špatně?
a ta vzdálenost u toho příkladu, jak jsem vypočítala, je dobře?
Děkuji moc!

Offline

 

#13 14. 02. 2018 21:42 — Editoval Jj (14. 02. 2018 22:04)

Jj
Příspěvky: 6726
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   496 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

theterka14 napsal(a):

bohužel vůbec netuším, jak se zkouška dělá.

Vždyť jsem to napsal:

- ověřit, zda nalezená přímka prochází zadaným bodem, tzn. zda
   - přímka x + 2y = 0 prochází bodem A(2,-1),
   - přímka 2x - 5y + 8 = 0 prochází bodem M(1,2).

- ověřit, zda
   - přímky x + 2y = 0    a   x + 2y - 4 = 0 jsou rovnoběžky (tzn. zda svírají úhel 0°),
   - přímky 2x - 5y + 8 = 0   a   5x - 2y - 3 = 0 jsou kolmé (tzn. zda svírají úhel 90°).
   
- ověřit, zda R (1, -2) leží na přímce x = -1 + 2t, y = 3- 5t (tzn. zda jeho vzdálenost od této přímky = 0, jak vyšlo výpočtem).

Pokud něco z uvedeného není splněno, tak zkouška u příslušného příkladu nevyšla, v jeho výpočtu je tudíž nějaká chyba a je třeba ji najít a opravit.

Z vašich výpočtů je zřejmé, že příklady chápete, proto nepředpokládám, že chybu nenajdete sama.

Edit - doplněno: Nakonec místo chyby přece jen označím:

U kolmé to mám takto: zadání  5x - 2y - 3 = 0 , M (1,2)
určila jsem normálový vektor (5,-2)
a směrový vektor (5, -2) a normálový (2,5)
z toho: 2x - 5y - c = 0
2 - 10 = c
-8 = c
tedy rovnice je: 2x - 5y + 8 = O

Takže od označeného místa není výpočet v pořádku.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#14 15. 02. 2018 05:57

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

Zkusim to spočítat. A ta zkouška to do toho jen dosadim čísla a buď mi vyjde 0 nebo 90?
Já do té rovnice dosadil normálně normalovy vektor pro druhou rovnici. Tak nevím kde je chyba :-(

A nevím jak ověřit tu vzdálenost. To do toho mám také dosadit?
Děkuju. Jsem bezradná.

Offline

 

#15 15. 02. 2018 11:32 — Editoval Jj (15. 02. 2018 11:41)

Jj
Příspěvky: 6726
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   496 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:

Tak od konce:

A nevím jak ověřit tu vzdálenost

Ptala jste se, zda může vyjít vzdálenost = 0 (poznámka:  0/nenulové číslo = vždy 0).
Pokud bod R(1,-2) leží na zadané přímce  (tzn. pokud souřadnice bodu splňují její rovnici), tak ano:

x = -1 + 2t, dosadit x = 1 ---> 1 = -1 + 2t ---> t = 1
y = 3- 5t, dosadit t = 1     ---> y = 3 - 5*1 = -2

Pro x = 1 vychází y = -2 ---> bod R(1,-2) na zadané přímce leží a výsledek vzdálenost = 0 je tedy správný.

A ta zkouška to do toho jen dosadim čísla a buď mi vyjde 0 nebo 90?

Je to možné podle vzorečku pro úhel dvou přímek. U rovnoběžek ale vlastně stačí vizuální kontrola rovnosti normálových vektorů, u kolmic nulový skalární součin normálových vektorů.

1. příklad
Normálové vektory přímek se rovnají, tzn. přímky jsou rovnoběžné.
Dosazení souřadnic bodu A(2,-1) do rovnice x + 2y = 0:
2 + 2*(-1) = 2 - 2 = 0, rovnice je splněna ---> přímka prochází bodem A.

Takže 1. příklad je v pořádku.

2. příklad
Skalární součin normálových vektorů přímek 2x - 5y + 8  = 0 a 5x - 2y - 3 = 0:
$\overrightarrow{n_1}(2,-5)\cdot\overrightarrow{n_2}(5,-2)=2\cdot5+(-5)\cdot(-2)=20\neq0$, tzn. přímky nejsou kolmé.
Kontrola rovněž ukáže, že výsledná přímka neprochází bodem M.

Normálový vektor hledané kolmice (2,5) jste určila správně, tzn. hledáte kolmici ve tvaru
ax + by + c = 0, kde (a, b) = (2,5), tzn

2x + 5y + c = 0 (není důvod měnit znaménko u 'c'. Mám dojem, že jste se při výpočtech nechala nějak ovlivnit znaménky zadané rovnice, a to i u prvního příkladu. To není dobré - možná to vedlo u druhého příkladu k chybě).

Teď by to mělo vyjít.

Bez výpočtů taky můžete výsledky kontrovat na realistickém náčrtku zadaných údajů v souřadném systému (tím je vždy rozumné začít)  doplněném o výsledek výpočtu. Z něj by bylo hned zřejmé, že nalezená přímka ve druhém příkladu není kolmá na zadanou. Výpočty bez (vlastní) účelné kontroly bývají docela rizikové.

Jen bych ještě dodal, že jsem Vás asi potrápil víc než bylo nutné - při případných dalších dotazech to třeba napravím :-)


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#16 15. 02. 2018 16:29

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

Děkuju moc za podrobné vysvětlení, ted na to koukám, ale pořád nevím tedy, jak ty znaménka, jelikož u toho prvního, u těch rovnoběžek, jsem také udělala znamínka takto: x + 2y - c = 0 , to je tedy správně? Nebo se dává normálně + c? Nebo jak to poznat.

Proto jsem to stejné udělala i u těch kolmic, tam jsem ty znamínka nechala z původní rovnice, myslela jsem, že se to nemůže měnit, nebo to závisí na tom normálovém vektoru?

Děkuji moc, takže rovnoběžky a vzdálenost mám tedy dobře, ano?

vždy si tedy u rovnoběžek musím zjistit normálový vektor a z toho pak sestavuji tu rovnici? a poté dosadím za x a y ty body z A?
a u kolmé tedy je normálový z první rovnice stejný jako směrový, a pak normálový z druhé rovnice pouze změním znamínka?
Děkuju!!

Offline

 

#17 15. 02. 2018 18:59 — Editoval Jj (15. 02. 2018 19:02)

Jj
Příspěvky: 6726
Škola: VŠB, absolv. r. 1970
Pozice: Důchodce
Reputace:   496 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:

Rovnoběžky a vzdálenost je dobře.

Znaménka u hledaného koeficientu 'c' nechávejte kladná (tzn. v obou příkladech).

Hledáte rovnici ve tvaru

ax + by + c = 0, tak vycházejte z toho tvaru.  Znaménka původní rovnice do toho nemíchejte (to vedlo ke špatnému výpočtu druhého příkladu).

Rovnoběžky mají shodný normálový vektor.

Má-li přímka normálový vektor (a, b), má kolmice na ni normálový vektor (-b, a) nebo (b, -a). Použít můžete jeden i druhý. Nic komplikovanějšího v tom nehledejte.


Pokud se tedy nemýlím.

Offline

 

#18 17. 02. 2018 11:41

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

Děkuji moc za podrobné vysvětlení. Mohla bych se zeptat ještě na tyto příklady, zda dělám dobře?

1) Zjistěte, zda bod C leží na přímce p. Určete parametrické rovnice přímky p, která je dána body A, B: b)  A(3;1), B(1;5), C(- 1;2)
určila jsem si směrový vektor (-2, 4)
x = 3 - 2t
y = 1 + 4t
jen nevím, jak poznat zda tam tedy leží, nebo ne?

2.  Určete obecnou rovnici přímky: x = - 3t , y = 4 + 5t
udělala jsem si metodu sčítací a vyšlo mi 5x + 3y = 12, tedy 5x + 3y -12 = 0

3.  Vypočtěte odchylku přímek p a q: d)  p: 2x – y + 1 = 0, q: 3x + y + 1 = 0
určila jsem si normálové vektory
první normálový vektor (2, -1)
druhý normálový vektor (3,1)
a uhel mi vyšel 55 stupnů 33 minut.

Offline

 

#19 17. 02. 2018 13:05

Ferdish
Příspěvky: 548
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: ml. vedecký pracovník
Reputace:   22 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

1) Dosaď súradnice bodu C do príslušných parametrických rovníc a vypočítaj parameter. Ak sa bude v oboch rovniciach rovnať, znamená to, že bod C leží na danej priamke.

2) Vyzerá to OK.

3) Mne vyšiel iný uhol...môžeš sem dať svoj výpočet prosím?

Offline

 

#20 17. 02. 2018 13:22 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Zbytečné

#21 17. 02. 2018 15:14

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

je, ted jsem koukala a udělala jsem chybku
ted mi vyšel uhel 45 stupnů rovných. Nahoře ve zlomku mám 5 a dole odmocnina z 50.

ted jsem zkoušela to C a vyšlo mi první té 2 a druhí té mi vyšlo 1/4. Takže v tom případě neleží?

Offline

 

#22 17. 02. 2018 15:39

Ferdish
Příspěvky: 548
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: ml. vedecký pracovník
Reputace:   22 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:
Ak ti parametre vyšli rôzne, tak neleží.

A áno, uhol má vyjsť 45° alebo tiež $\frac{\pi }{4}$.

Offline

 

#23 17. 02. 2018 16:55

theterka14
Zelenáč
Příspěvky: 11
Škola: SOŠ
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Analytická geometrie - přímka

děkuji moc, a tu zkoušku, zda to C leží na přímce dělám z těch parametrických rovnic, že ano? a Za X a Y dosadím z C? :)

Offline

 

#24 17. 02. 2018 17:28

Ferdish
Příspěvky: 548
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: ml. vedecký pracovník
Reputace:   22 
 

Re: Analytická geometrie - přímka

↑ theterka14:
Toto mi príde ako zbytočná otázka...:-)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson