Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 02. 2018 01:35

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Aritmetika limit

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, v jaké fázi výpočtu limity mohu korektně aplikovat aritmetiku limit, je to až ve chvíli, kdy vím, jaké limity mají dílčí funkce?

Uvažujme limitu:
$\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}. \frac{x+1}{x+1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.{(x+1)}=...  $

nyní mám několik možností:
1. vidím že argument funkce sinus jde k nule (vzhledem k limitnímu bodu). Bude se tedy jednat o známou limitu. Druhý činitel je roven po dosazení (využití spojitosti a limity) roven 2. V tuto chvíli mohu využít aritmetiku limit, znám dílčí limity a jejich součin není neurčitý výraz:
$\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}. \frac{x+1}{x+1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.{(x+1)}=\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.\lim_{x \rightarrow1}{(x+1)} = 1.2 = 2 $
2. využití věty o limitě složené funkce: zde nevím. Mohu aplikovat aritmetiku limit na limitu, u níž neznám hodnotu jedné dílčí limity funkce (řekněme, že nevím jaká bude hodnota druhé dílčí limity, tj počítat dále takto  $\lim_{x \rightarrow1} (x+1) .\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}$ a v dalším kroku zavést substituci ve druhé limitě $y=x^2-1$ a poté pokračovat k výsledku? Nejedná se dle http://wiki.matematika.cz/index.php/Ryc … unkc%C3%AD o porušení pravidla o aplikaci aritmetiky limit, protože v době, kdy jsem aplikoval větu o limitě součinu, tak jsem neznal hodnotu druhé limity?K neurčitému výrazu nepovede, ale mohlo by se stát, že druhá limita nebude existovat. Neměl bych spíše pokračovat tak, že na limitu:
$\lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x-1}. \frac{x+1}{x+1}= \lim_{x \rightarrow1} \frac{sin(x^2-1)}{x^2-1}.{(x+1)}$ aplikuju větu o limitě složené funkce a zavést substituci $y = x^2-1$?
Čemu se poté bude rovnat $x$ ve činiteli součinu $x+1$,$|x| = \sqrt{(y+1)}, x \geq 0; x = \sqrt{(y+1)}; x < 0; x = -\sqrt{(y+1)}$ ?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) BobMarley)

#2 24. 02. 2018 08:46

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Aritmetika limit

Kde se tam píše, že bys měl hodnoty jednotlivých limit znát? Je potřeba, aby existovaly a aby výsledný výraz byl definovaný. To obvykle zjistíš až na konci výpočtu, takže si třeba k tomu "=" napiš otazníček, a když by to náhodou nevyšlo, tak to celý škrtneš a zkusíš nějak jinak. Pokud to vyjde, tak škrtneš jenom ten otazníček.

Offline

 

#3 24. 02. 2018 09:12

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Aritmetika limit

↑ Stýv:
Děkuji za odpověď.
Takže dostanu zadanou limitu, počítám, využívám aritmetiky limit dle libosti a na konci výpočtu ověřím, zda je daný výraz definovaný?

Offline

 

#4 24. 02. 2018 11:54

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5094
Reputace:   194 
Web
 

Re: Aritmetika limit

Jo, tak nějak.

Offline

 

#5 24. 02. 2018 11:56

BobMarley
Příspěvky: 42
Reputace:   
 

Re: Aritmetika limit

↑ Stýv:
Takže (ve velkých uvozovkách):
" Limitu počítáme stylem : zkus a uvidíš. Pokud to nevyjde, začnu znovu a jinak."

Moc děkuji.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson