Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 03. 2018 06:24

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Největší součin

Jak rozdělit přirozené číslo n (n>3) na libovolný počet přirozených sčítanců n = a1 + a2 + ... + ak tak, aby jejich součin pmax = a1 . a2 ... ak byl co největší? Dokažte!

Offline

 

#2 02. 03. 2018 11:28

vanok
Příspěvky: 12754
Reputace:   714 
 

Re: Největší součin

Ahoj ↑ Honzc:,
Poznamka. 
Vysetrenie funkcie $x \mapsto \(\frac nx\)^x$ vedie rychlo k rieseniu problemu.
No vsak tvoj problem je nast riesenie bez pouzitia derivacii.  Ze?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#3 02. 03. 2018 12:42

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Re: Největší součin

↑ vanok:
Zdravím,
tvé řešení je sice hezké, ovšem jednotlivé sčítance musí být přirozená čísla (ne nutně všechna stejná), což pro tvé řešení samozřejmě neplatí.

Offline

 

#4 02. 03. 2018 14:40 — Editoval vanok (03. 03. 2018 16:51)

vanok
Příspěvky: 12754
Reputace:   714 
 

Re: Největší součin

Ahoj ↑ Honzc:,
Poznamka.
Mas pravdu, ze metoda co som naznacil neda riesenie, ale to som netrvdil, napisal som presne, ze vedie k rieseniu.
Najprv nam da  v $\Bbb R$ majoraciu hladaneho sucinu.
Inac zovseobecnenie « zabudnutej vety » (pozri http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=100565.  #11) nam moze pomoct nast hladane riesenie. (A to bez derivacii).   
Ak tato poznamka ti nestaci.... mozem doplnit etapy riesenia, ktore poctivy stredoskolak by mal dokazat doplnit.
Klucova myslienka dokazu je:


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#5 03. 03. 2018 11:29

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Re: Největší součin

↑ vanok:
To, že rozklad nemůže mít číslo rovné 4 není tak docela pravda, protože 2+2=2*2=4

Offline

 

#6 03. 03. 2018 16:03 — Editoval vanok (03. 03. 2018 16:52)

vanok
Příspěvky: 12754
Reputace:   714 
 

Re: Největší součin

↑ Honzc:
Nie je.  Ale oba daju ten isty vysledok pre pmax.  ( Ale v klucovej myslienke islo o to ako to cislo ojbavit)
A tvoja poznamka moze byt cast diskuzie po rieseni.   
( inac ja som sa nesnazil riesit problem, len som dal cesty k rieseniu... a aj metody ktore sa mozu pouzit)
To riesenie tu treba este  napisat. 
Ako si ti ty riesit? Kludne tapis tebou cakany postup. 
To chces povedat, ze to ta inspirovalo.   Tak to som velmi rad.   
Iste aj v oeis je urcite uvernena postupnost pmax.  Ak budem mat cast skusim to nast.... to by mohlo  niekoho zaujimat.

Poznamka.   
Toto cvicenie pre nejake cislo napr. 14 by mohlo zaujat aj foristov za ZS.   A potom ho pripadne  zovseobecnit.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#7 03. 03. 2018 19:13 — Editoval Honzc (03. 03. 2018 19:21)

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Re: Největší součin

↑ vanok:
Zdravím,
já úlohu vyřešit umím.
Zatím dám jenom výsledek (málo času)-později přidám i důkaz.

Offline

 

#8 03. 03. 2018 19:59

vanok
Příspěvky: 12754
Reputace:   714 
 

Re: Největší součin

Pozdravujem ↑ Honzc: .
Vsak iste nejaky stredoskolak nam tu da jeho riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#9 04. 03. 2018 04:03

vanok
Příspěvky: 12754
Reputace:   714 
 

Re: Největší součin

Pozdravujem,
Tu je ta slubena postupnost
http://oeis.org/A000792


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#10 05. 03. 2018 08:02

Honzc
Příspěvky: 3796
Reputace:   210 
 

Re: Největší součin

↑ vanok:
Tady je "důkaz"

Offline

 

#11 05. 03. 2018 17:59

vanok
Příspěvky: 12754
Reputace:   714 
 

Re: Největší součin

Pozdravujem ↑ Honzc:,
V podstate ten isty dokaz ako moj. 
Len som ho trochu inac organizoval. 
Najprv som dokazal klucovu myslienku. 
Potom som vysetril pripady $n =k \mod 3$ kde $k\in \{ 0;1;2\}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson