Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 06. 07. 2011 11:25

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Easy inequality with integrals

Let $a, b$ be reals satisfying $1 < a < b$ and $f, g \colon [0, 1] \to [0, \infty)$ continuous functions satisfying

$\int_0^1 f^b(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_0^1 f^a(x) g(x) \, \mathrm{d}x$.

Prove that

$\int_0^1 f^b(x) \, \mathrm{d}x \leq \int_0^1 g^{\frac{b}{b-a}}(x) \, \mathrm{d}x$.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#2 09. 03. 2018 02:24 — Editoval laszky (09. 03. 2018 03:56)

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: Easy inequality with integrals

We use Holder's inequality $\int_0^1 |u(x)v(x)| \mathrm{d}x \leq \left(\int_0^1|u(x)|^p \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_0^1|v(x)|^q \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{q}}$ which holds for all $p,q\geq1$ satisfying $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ and $u\in L^p(0,1), v\in L^q(0,1)$.

Hence, denoting $|u(x)|=f^a(x)$, $|v(x)|=g(x)$, $p=\frac{b}{a}$ and $q=\frac{b}{b-a}$ we may write

$\int_0^1 f^b(x) \, \mathrm{d} x \leq \int_0^1f^a(x)g(x) \,\mathrm{d} x \leq \left(\int_0^1f^b(x)\, \mathrm{d} x\right)^{\frac{a}{b}} \left(\int_0^1g^{\frac{b}{b-a}}(x)\, \mathrm{d} x\right)^{\frac{b-a}{b}}$.

Dividing both sides of this inequality by $\left(\int_0^1f^b(x)\, \mathrm{d} x\right)^{\frac{a}{b}}$ yields

$\left(\int_0^1f^b(x)\, \mathrm{d} x\right)^{\frac{b-a}{b}}\leq  \left(\int_0^1g^{\frac{b}{b-a}}(x)\, \mathrm{d} x\right)^{\frac{b-a}{b}}$,

which is the desired inequality.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson