Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 11. 2011 19:15

stuart clark
Příspěvky: 793
Reputace:   
 

largest value of n

Find largest positive value of $n$ in $n.\left(\frac{abc}{ab+bc+ca}\right)\leq (a+b)^2+(a+b+4c)^2$

where $a\;,b\;,c\in\mathbb{R}$

Offline

 

#2 09. 03. 2018 17:03

laszky
Příspěvky: 773
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   46 
 

Re: largest value of n

Such $n$ does not exist.

We prove it by contradiction: assume that such largest $n$ exists and choose $a=b=c=\frac{n}{k}$ for some $k>0$.

Then the inequality changes into

$n \cdot \frac{\left(\frac{n}{k}\right)^3}{3\left(\frac{n}{k}\right)^2} \leq 4\left(\frac{n}{k}\right)^2 + 36\left(\frac{n}{k}\right)^2$,

which can be rewritten as

$\frac{n^2}{3k}\leq \frac{40n^2}{k^2}$.

This inequality holds only for $k\leq120$. For $k>120$ we obtain a contradiction.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson