Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 03. 2012 13:52

stuart clark
Příspěvky: 795
Reputace:   
 

system of equations

Calculate $x,y,z\in \mathbb{R}$ in system of equations

$x^2=1+2xy$

$y^2=1+2yz$

$z^2=1+2zx$

Offline

 

#2 12. 03. 2018 03:57 — Editoval laszky (13. 03. 2018 21:32)

laszky
Příspěvky: 801
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   50 
 

Re: system of equations

System has 6 solutions $(x,y,z)\in\{(p,q,r), (-p,-q,-r), (q,r,p), (-q,-r,-p), (r,p,q), (-r,-p,-q)\}$,  where $p^2,q^2,r^2$ are three distinct (real and positive) solutions of the cubic equation  $7x^3-35x^2+21x-1=0$. They can be expressed in the form

$x_k = \frac{8}{3}\cos\left(\frac{1}{3}\mathrm{arccos}\left(\frac{13}{14}\right)+\frac{2k\pi}{3}\right) + \frac{5}{3},\quad k=0,1,2$.

We choose $p=\sqrt{x_0}, q=-\sqrt{x_2}, r=\sqrt{x_1}$

Edit: The polynomial can be obtained by expressing $x=x(z)=\frac{z^2-1}{2z}, y=y(x)=\frac{x^2-1}{2x}, z=z(y)=\frac{y^2-1}{2y}$ and then evaluating $x = x(z(y(x)))$.

Offline

 

#3 13. 03. 2018 20:23

vanok
Příspěvky: 12825
Reputace:   714 
 

Re: system of equations

Hi ↑ laszky:,
Please, you could develop method to arrive towards $7x^3-35x^2+21x-1=0$.
Thank you.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson