Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 03. 2018 17:48

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Barycentricke suradnice

Pozdravujem,
Mala otazka.
Co viete o  barycentrickych suradniciach?
Kedy a na akej urovni ste sa o tomto pojme dozvedeli?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 20. 03. 2018 17:59

laszky
Příspěvky: 1047
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   73 
 

Re: Barycentricke suradnice

Zdrastvujem. VS, 3.rocnik.

Offline

 

#3 20. 03. 2018 19:09 — Editoval vanok (21. 03. 2018 09:12)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Ahoj ↑ laszky:,
Ano, ale v akom ramci?
A co vies o barycentrickyrh rovnicach?
Ake problemy vies riesit?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 21. 03. 2018 09:10 — Editoval vanok (22. 03. 2018 07:32)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pridam tu, co iste kazdy vie.



V minulom storoci sa tento pojem vyucoval uz aj na SS. Niekto ma na to spomienky?

Pripomenme definiciu v pripade afinnej roviny. ( Def. je tak platna aj v euklidovskej rovine).
Nech $A,B,C$ su tri body roviny ktore nie su na jednej priamke. Potom trojica $(A,B,C)$ sa vola referencny  trojuholnik.
Potom bod $M$ tejto roviny, trojica $(x,y,z)$ taku, ze $x+y+z\ne 0$ a $x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{BM}+z\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$ sa vola
barycentrum vazenych bodov $(A,x);(B,y);(C,z)$.


Je jasne, ze trojica $(x,y,z)$ ako aj trojica $(kx,ky,ke)$ definovana ako nenulovy  nasobok predoslej vyhovuje danej definicii. ( cize barycentrum nie je jednoznacne urcene, a ho budeme volat barycentricke suradnice bodu $M$ ).
Niekedy moze byt prakticke vybrat take barycentricke suradnice, ze $x+y+z=1$, vtedy hovorime o normalizovanych barycentrickych suradniciach bodu $M$.

Na pokracovanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 22. 03. 2018 07:25

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie.

Lahko odvodime,ze pre lubovolny bod roviny $O$ plati ekvivalentne
$x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}=(x+y+z)\overrightarrow{0M}$.

Pochopitelne, lahko sa sa daju vyjadrit vzorce ako prejt z afinnych suradnic do barycenttickych a opacne.
Urcite to viete urobit
Kontrola

\

Na pokracovanie...


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 23. 03. 2018 10:28 — Editoval vanok (25. 03. 2018 07:08)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 2.
Tak teraz je jasne pre kazdeho, ze body roviny vzladom k referecnemu trojuholniku $(A,B,C)$ z barycentrickymi suradnicami $(x,y,z)$ su take, ze $x+y+z\ne 0$.
Tiez je bezne oznacit normalizovane barycentricke suradnice taketo bodu $(x:y:z)$

Teraz si polozme otazku: na co moze sluzit rovnost $x+y+z=0$?
Je zaujimave konstatovat, ze pre trojicu $(x,y,z)$ realnych cisiel  taku, ze $x+y+z=0$ vektor $\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}$ je nezavisly od bodu M.
Kontrola


A reciprocne pre kazdy vektor$\overrightarrow{v}=y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AC}$ ho vieme napisat vo forme $\overrightarrow{v}=x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}$ kde $x+y+z=0$

Co tiez znamena ze $\overrightarrow{v} \mapsto (x,y,z)$ je bijektivna aplikacia. Tiez tato trojica sa vola barycentrike suradnice vektoru $\overrightarrow{v} $ ....

Na pokracovanie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 25. 03. 2018 07:05 — Editoval vanok (25. 03. 2018 07:07)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 3.
Pripomeniem este ze v euklidovskej orientovanej  rovine  mozme  vyjadrit orientovanu plochu trojuholnika MNP vyrazom $\frac 12 [\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}]$ kde $[.,.]$ je determinant vektorov v ortonormalnej priamo orientovanej baze.

Da sa dokazat, ze:  Nech $(A,B,C)$ je referencny trojuholnik v afinnej euklidovskej orientovanej rovine. Trojica $(x,y,z)$ baryceentrickych suradnic bodu $M$ je umerna trojici orientovanych ploch $\( pl(BCM),pl(CAM),pl(ABM) \)$



Na pokracovanie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 26. 03. 2018 21:38

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 4
Tu najdete ten slubeny dokaz



Teraz mate vsetko aby ste vedeli nast, vdaka pojmom co som vam pripomenul, ze v trojuholniku ABC ( v euklidovskej rovine) nast jeden vnutorny bod taky, aby sucet ich vzdialenosti na druhu od stran trojuholnika $(A,B,C)$ bol minimalny. 
Tento sa vola Lemoine-ov bod. To  vam necham radost urobit. 

V buducom pokracovani osviezim vase spomienky o barycentrickych priamkach.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#9 27. 03. 2018 22:26

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 5.
Pre kontrolu tu najdete odpoved na Lemoine-on bod.



Na pokracovanie si pripomenme, polynome $ P \in \Bbb R [X,Y,Z]$  je  homogenny stupna $n$ ak mame $P(TX,TY,TZ)=T^n P(X ,Y,Z)$, kde $T$ est realne nenulove cislo.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 13. 04. 2018 23:08

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 6.
Konstatujeme, ze $P(tx,ty,tz )=0 \Leftrightarrow P(x,y,z)=0$ ....
A tak mnozina bodov M, barycentrickych suradnic (x,y,z) pre  ktore plati P(x,y,z)=0 je dobre definovana (vsak su nezavysle od roznych barycentrickych suradnic toho isteho bodu). Mnozine takych bodov hovorime, ze $P(X,Y, Z)=0$ je jej barycentricka rovnica. 
Je dolezite vediet prest z kartezianskych rovnic k barycentrickym a na opak.
Iste viete ako na to.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#11 14. 04. 2018 21:51 — Editoval vanok (14. 04. 2018 21:52)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 7
Odpoved na posleddny riadok ↑ vanok:.
Ak GMB popisane v pokracovani 6 ma kartesiansku rovnicu $f(U,V)=0$ tak jeho barycentricka rovnica je $f(\frac Y{X+Y+Y},\frac Z{X+Y+Z} )=0$ ( co sa da upravit).
Opacne, ak $F(X,Y,Z)=0$ je barycentricka rovnice toho GMB, tak jedne jeho kartesianska rovnica je $F(1-U-V,U,V)=0$.
Priklad pouzitia poslednych riadkov. 
a)Priamka kartesianskej rovnice $U+V=1$ ma barycentricku rovnicu $\frac Y{X+Y+Y}+\frac Z{X+Y+Y}=1$ co sa po zjednoduseni $X=0$.
b) Priamka kartesianskej rovnice $U+V=0$ ma barycentricku rovnicu ( po zjednoduseni) $Y+Z =0$.

Ako sa pise  kartezianska rovnica GMB ktore ma barycentricku rocnicu $YZ+ZX+XY=0$?
( neskor ukazem ze ide o kuzelosecku)
Ze je to jednoduche!


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 23. 04. 2018 14:50 — Editoval vanok (29. 04. 2018 23:39)

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 8.
Ze ste nasli, po  uprave, $U^2+V^2+UV-U-V=0$.

Uvazujme teraz barycentricku rovnicu prveho stupna, ta je formy $aX+bY+cZ=0$, kde a,b,c nie su vsetki nulove.
Ake GMB representuje?
Ak mame $a=b=c$ tak je ekvivalentna z $X+Y+Z=0$, co nijaky konecnyne vzdialeny bod nesplnuje. ( V toto pripade ide o barycentricku rovnicu priamky v nekonecne, projektivnej komplecie afinnej roviny).
Tak predpokladajme ze nasa rovnica nie je takej  formy. 
Potom  kartezianska rovnica GMB je formy $a(1-U-V)+bU+cV= (b-a)U+(c-a)V+a=0$. ( co je skutocne kartezianska rovnica priamky lebo $b-a; c-a$ nie su obe nulove).
Podobne opacne mame [ doplnte si to]

Tak

Mnozina afinnych priamok roviny je dana barycentrickymi rovnicami formy $aX+bY+cZ=0$, kde $a;b;c$ nie su sebe rovne.

V buducych pokracovanachi pridam ( pre istotu ) zakladne vlasnosti a potom budete moct sami riesit vdaka tomu (zaujimave) cvicenia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#13 29. 04. 2018 23:38

vanok
Příspěvky: 13031
Reputace:   717 
 

Re: Barycentricke suradnice

Pokracovanie 9. 

Nech  M , M’  su dva rozne body barycentrickych suradnic (x,y,z;); (x’,y’,z’), potom jedna barycentricka ronica priamky MM’ je napr. $pX+qY+rZ=0$ , kde
p=yz’-y’z,
q=zx’—xz’,
r=xy’-x’y   
.

Pripomeniem tiez,ze
dve priamky $D,D_1$ barymetrickych rovnic
$aX+bY+cZ=0$
$a_1X+b_1Y+c_1Z=0$ su rovnobezne
ak $\begin{vmatrix} a & b &c\\ a_1& b_1 &c_1\\ 1&1&1 \end{vmatrix} =0$


Tymi istymi oznaceniami mame

Ak $D,D_1$ nie su rovnobezne, potom ich spolocny bod ma barycentricke suradnice $(bc_1-b_1c,ca_1-c_1a,ab_1-a_1b)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson