Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 16. 04. 2018 15:47

Terry H.
Příspěvky: 49
Reputace:   
 

Soustavy diferenciálních rovnic

Dobrý den potřebuji poradit s příkladem.

mám soustavu
x´= 3x - 2y
y´= 2x - y +1

Mám vypočítaný vlastni čísla a vlastní vektory
$\lambda _{1,2} = 1$
$v_{1} = (1;1)
$
$v_{2} = (1;1/2)
$

No a teď přichází problém u partikulárního řešení, počítáno přes metodu variaci konstant

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2018-04/86084_IMG_20180416_152824.jpg

Kde f = (0,1)

Když spočtu inverzni matici a prenásobím to funkcí f
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2018-04/86267_IMG_20180416_154228.jpg

Nemyslím, že integrál z 0 je správný postup.

Děkuji předem za pomoc

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Terry H.)

#2 16. 04. 2018 17:11 — Editoval laszky (16. 04. 2018 17:21)

laszky
Příspěvky: 839
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   53 
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

Ahoj, protoze mas na prave strane konstantu, bude partikularni reseni konstantni (derivace konstanty je 0). Takze ti staci vyresit soustavu rovnic $\mathbb{A}\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}0\cr -1\end{pmatrix} $.

Offline

 

#3 16. 04. 2018 17:37

Terry H.
Příspěvky: 49
Reputace:   
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

↑ laszky:

děkuji za radu, ale moc tomu nerozumim odkud je toto $\mathbb{A}\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}0\cr -1\end{pmatrix} $ ?

děkuji za odpověď

Offline

 

#4 16. 04. 2018 17:48

laszky
Příspěvky: 839
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   53 
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

↑ Terry H.:

Ahoj, partikularni reseni musi splnovat

$\boldsymbol{x}'_p = \mathbb{A}\boldsymbol{x}_p+\begin{pmatrix}0\cr 1\end{pmatrix} $.

Pokud predpokladame, ze $\boldsymbol{x}_p$ je konstantni, pak $\boldsymbol{x}'_p=\begin{pmatrix}0\cr 0\end{pmatrix}$, z toho ziskas, ze musi byt $\mathbb{A}\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}0\cr -1\end{pmatrix} $.

Offline

 

#5 16. 04. 2018 18:39

Terry H.
Příspěvky: 49
Reputace:   
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

↑ laszky:

ahoj,
ano už to v tom vidím díky

bohužel tomu stále nerozumim, ted jsem ještě zjistila, že tu inverzni matici mám špatně
myslím, že chápu nějak ten postup, ale to co mi vychází není nic pěkného

podle mého postupu bych teď měla spočítat integrali
$\int_{}^{}(2*(1+t))/(e^t*t)$

$\int_{}^{}-2/(e^t*t)$

a to mi přijde na integrování dost těžký

díky

Offline

 

#6 16. 04. 2018 18:59

laszky
Příspěvky: 839
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   53 
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

↑ Terry H.:

Prilis nechapu, kdes k tomu prisla. Kdes vlastne vzala ten druhej vl. vektor? A na tom druhem obrazku nasobis vektor s matici nejak zvlastne? ....to ma byt inverzni matice k matici $\mathrm{e}^{\mathbb{A}t}$?

Offline

 

#7 16. 04. 2018 19:20

Terry H.
Příspěvky: 49
Reputace:   
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

takhle jsem to počítala



http://forum.matematika.cz/upload3/img/2018-04/99082_IMG_20180416_191256.jpg

http://forum.matematika.cz/upload3/img/2018-04/99112_IMG_20180416_191309.jpg

Offline

 

#8 16. 04. 2018 20:08

laszky
Příspěvky: 839
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   53 
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

Ahoj, chybu mas v tom poslednim obrazku, kde ma namisto

$\begin{pmatrix}1+t \cr 1+\frac{1}{2}t\end{pmatrix}$

byt

$\begin{pmatrix}1+t \cr \frac{1}{2}+t\end{pmatrix}$

Offline

 

#9 16. 04. 2018 20:31 — Editoval Terry H. (16. 04. 2018 20:32)

Terry H.
Příspěvky: 49
Reputace:   
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

↑ laszky:
Děkuji, po opravě to vychází už lépe, ale stejně mi tu zůstal integrál
$\int_{}^{}2/(e^t*t)$
a ten nevím, jak řešit

Offline

 

#10 16. 04. 2018 21:35 — Editoval laszky (16. 04. 2018 21:37)

laszky
Příspěvky: 839
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   53 
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

↑ Terry H.:

Ok, takze mas $\boldsymbol{x}_p=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^t&(1+t)\mathrm{e}^t \cr\mathrm{e}^t& (\frac{1}{2}+t)\mathrm{e}^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C(t)\cr D(t)\end{pmatrix}$, kde

$\begin{pmatrix}0\cr 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathrm{e}^t&(1+t)\mathrm{e}^t \cr\mathrm{e}^t& (\frac{1}{2}+t)\mathrm{e}^t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C'(t)\cr D'(t)\end{pmatrix}$

Inverzni matice k $\mathbb{M}=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}$ se spocita podle vztahu $\mathbb{M}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbb{M}}\begin{pmatrix}d&-b\cr -c&a\end{pmatrix}$

Offline

 

#11 16. 04. 2018 22:17

Terry H.
Příspěvky: 49
Reputace:   
 

Re: Soustavy diferenciálních rovnic

tak proto to mám zase špatně, zapomněla jsem prohodit a s d, tak snad teď už to dopočítam

Mockrát děkuji za pomoc =)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson