Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 04. 2018 14:47 — Editoval aladar (30. 04. 2018 16:50)

aladar
Příspěvky: 111
Reputace:   
 

Elipticke krivky

Ahoj, mam zadanu rovnicu $E: y^2 + y = x^3 - x +1$ . Potrebujem urcit, pre ktore prvocisla p sa jedna o elipticku krivku nad GF(p). Viete mi niekto poradit ako na to? Dakujem.

EDIT:
Tak trosku som pokrocil, pravdepodobne budem potrebovat mat vypocitany minimalny diskriminant, ten mi ale vysiel zaporny, co neviem, ci je uplne OK. Vyslo mi to -611 a pocital som to podla weierstrassovej rovnice.

Offline

 

#2 01. 05. 2018 00:57

vanok
Příspěvky: 12756
Reputace:   714 
 

Re: Elipticke krivky

Ahoj ↑ aladar:,
Len mala poznamka. 
$E: y^2 + y = x^3 - x +1$ ma riesenia modulo 13. 
Priklady. (3,3); (9,2); (7,3)  ....


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 01. 05. 2018 12:08

MichalAld
Příspěvky: 781
Reputace:   21 
 

Re: Elipticke krivky

↑ vanok:
Hele, na to existuje nějaký univerzální postup, tak tyhle typy rovnic (tuším že se jmenují diofantické) řešit ?
Mě se tohle úplně vyhnulo, a docela by měl to i zajímalo...

Offline

 

#4 01. 05. 2018 19:31 — Editoval vanok (02. 05. 2018 02:58)

vanok
Příspěvky: 12756
Reputace:   714 
 

Re: Elipticke krivky

Ahoj ↑ MichalAld:,
To mas pravdu, ze diofanticke rovnice su komplikovana zalezitost. 
Niektore ich typy vieme riesit, ine nie.  O niektorych nevieme ani to povedat. 

Tu ide o elipticke krivky.   Ich studium je zaujimave a su pouzivane v teorii cisiel,   a aj v tzv eliptickej kryptografii .... trochu si mozes o tom precitat aj v # 302 tu http://forum.matematika.cz/viewtopic.ph … 45#p565845


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 02. 05. 2018 00:17

KennyMcCormick
Příspěvky: 1414
Reputace:   48 
 

Re: Elipticke krivky

↑ vanok:
Na konci url v linku nemá být tečka. :)


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#6 02. 05. 2018 03:01

vanok
Příspěvky: 12756
Reputace:   714 
 

Re: Elipticke krivky

↑ KennyMcCormick:
Ahoj
Reeditoval som to bez « . » ( i ked to aj tak fungovalo). Ale mas pravdu, treba robit vsetko dokonale.  👍


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 02. 05. 2018 14:42

KennyMcCormick
Příspěvky: 1414
Reputace:   48 
 

Re: Elipticke krivky

(S tečkou link míří na stránku jako takovou, bez tečky na druhý komentář odshora.)


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#8 02. 05. 2018 21:21

aladar
Příspěvky: 111
Reputace:   
 

Re: Elipticke krivky

vanok napsal(a):

Ahoj ↑ aladar:,
Len mala poznamka. 
$E: y^2 + y = x^3 - x +1$ ma riesenia modulo 13. 
Priklady. (3,3); (9,2); (7,3)  ....

Tak asi som na to prisiel, je potrebne faktorizovat tu 611ku, a teda bude to 13 a 47? Vie mi to niekto potvrdit?

Offline

 

#9 02. 05. 2018 22:47 — Editoval vanok (03. 05. 2018 00:00)

vanok
Příspěvky: 12756
Reputace:   714 
 

Re: Elipticke krivky

↑ aladar:
Ahoj, nie je mi celkom jasne co chces nast. 
To studujes vseobecnu teoriu? Alebo skor kryptografiu?
Tu mas dalsie uzitocne citanie.  https://www.math.brown.edu/~jhs/Present … cCurve.pdf


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 03. 05. 2018 11:59 — Editoval aladar (03. 05. 2018 12:01)

aladar
Příspěvky: 111
Reputace:   
 

Re: Elipticke krivky

Ahoj, zhrniem podrobnejsie. Potrebujem pre uvedenu rovnicu E urcit pre ktore prvocisla p sa jedna o elipticku krivku nad $GF(p)$

Podla Weierstrassovej rovnice elipticku krivku nad konecnym telsom nazyvame mnozinu
$E(GF(q^k)) = \{(x,y) |x,y \in GF(q^k), y^2 = a_{1}xy + a_{3}y = x^3 + a?{2}x^x +a_{4}x + a_{6}\}$ a po koeficientoch a1....a6 sa vyzaduje aby diskriminant != 0. Diskriminant mi vysiel 611, a teda modulo, ktore prvocislo tohto diskriminantu bude 0, pre tieto prvocisla by mala byt dana rovnica eliptickou krivkou nad GF(p). A to vychadza pre 13 a 47cku. Myslim si, ze takto by to malo byt spravne.

Studujem kryptografiu.

Offline

 

#11 04. 05. 2018 13:45

vanok
Příspěvky: 12756
Reputace:   714 
 

Re: Elipticke krivky

Ahoj ↑ aladar:,
Pozri si studijne materialy.  Vsak aby islo o elipticku krivku, to vyzaduje aby jej diskriminant bol nenulovy.
( najdes to napr.  aj v url co som dal na #9 )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 11. 05. 2018 12:30

byk7
InQuisitor
Místo: Břeclav, Brno
Příspěvky: 4458
Škola: PřF MUNI
Pozice: student
Reputace:   216 
 

Re: Elipticke krivky

↑ aladar:
Sám si rozmysli, že pro p=2 a pro p=3 nedostaneš žádné body.


Pro p>3 můžeš uvážit "klasický" Weierstrassův tvar, což v tém případě bude
$\(y+\frac12\)^2=x^3-x+\frac54$
Diskriminant polynomu na pravé straně potom bude $-611/16.$ Dělení 16 nám nevadí, protože případ p=2 už vyloučili.
Stačí tedy skutečně faktorizovat čitatel, tj. 611=13x47. V případech p=13 nebo p=47 bude mít polynom na pravé straně násobný kořen, sám si rozmyslim následující
$x^3-x+\frac54\equiv(x+3)^2(x-6)\pmod{13}$
a
$x^3-x+\frac54\equiv(x+4)^2(x-8)\pmod{47}$

Závěr: tvoje rovnice zadává eliptickou křivku nad $GF(p)$ právě tehdy, když $p\notin\{2,3,13,47\}$.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson