Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 05. 2018 01:09

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Zlí a hodní draci

Ahoj,
každý den chodím do jednoho ze dvou lesů na maliny. (Původně jsem uvažoval n lesů, ale nejspíš tímto zobecněním nezískáme jiný typ problému.) V každém lese žije drak, který je s pravděpodobností p zlý. (To, zda je drak zlý, je pro něj jednou provždy dáno - nám však není známo, zda je drak opravdu zlý.) A pokud je drak zlý a já vejdu do lesa, ve kterém žije, tak mě s pravděpodobností q sežere.

Otázka zní, jakou zvolit strategii návštěvů lesů, abych měl po m návštěvách těchto lesů co největší pravděpodobnost přežití. (Jako stretegie mě např. napadají možnosti chodit stále do jednoho lesa, systematicky střídat oba lesy, vybírat navštívený les náhodně, apod.)

Alternativně můžeme zkoumat otázku, jakou zvolit strategii, abych přežil co nejdéle - což lze zformulovat třeba tak, že chceme dosáhnout co největší střední doby přežití.


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#2 23. 05. 2018 16:48

MichalAld
Příspěvky: 944
Reputace:   27 
 

Re: Zlí a hodní draci

No já myslím, že na tom není moc co vymýšlet, pokud jsou ty pravděpodobnosti předem dané.

Pravděpodobnost, že přijdu o život v prvním lese je r1 = p1*q1, provděpodobnost že v druhém je r2 = p2*q2.

Myslím že i bez matematiky je celkem zřejmé, že když budu chodit tam, kde je nejnižší pravděpodobnost přijít o život jednou, bude nejnižší i když tam půjdu vícekrát. A tím že budu občas chodit někam, kde mám vyšší šanci přijít o život, tím se moje celková šance zemřít určitě nezmenší.



Existuje podobná úloha na optimální odhad, ale ta myslím musí znít trochu jinak - drak je buď v jednom nebo druhém lese (s předem známou pravděpodobnosti), tam mě buď sežere nebo né (matematika připouští i variantu, že mě sežere i když tam není, s nějakou pravděpodobností, mě se ale už nechce vymýšlet lepší zadání) - no a ptám se, když vlezu do nějakého lesa a drak mě sežral/nesežral, s jakou pravděpodobností tam byl.

Offline

 

#3 23. 05. 2018 22:06

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Re: Zlí a hodní draci

↑ MichalAld:
Tam ale není žádné pi,qi, ale jen p,q, ty hodnoty jsou pro oba lesy stejné.


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#4 23. 05. 2018 22:21

MichalAld
Příspěvky: 944
Reputace:   27 
 

Re: Zlí a hodní draci

Jo já už to chápu,

ale stejně si nemyslím, že lze vymyslet něco principiálně lepšího než chodit tam, kde nás to nesežralo (případně kde nás to vícekrát nesežralo).

Ale jinak samozřejmě nevím...

Offline

 

#5 23. 05. 2018 23:25

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Re: Zlí a hodní draci

Řekl bych, že se nabízí jedna ze dvou strategií - chodit stále do jednoho lesa a nebo systematicky střídat oba lesy. Rozdílné chování získáme jen v případě, že právě v jednom lese bude žravý drak. Pak je otázka, zda dají obě strategie stejné výsledky nebo ne.


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#6 23. 05. 2018 23:40

MichalAld
Příspěvky: 944
Reputace:   27 
 

Re: Zlí a hodní draci

Podle mě trochu záleží na tom, jak formulujeme to zadání.

Pokud bude strategie dopředu známá a daná, tak je podle mě úplně jedno, jaká bude.

Pokud můžeme ovšem strategii měnit - jinak řečeno úlohu přeformulujeme na "v levém lese jsme jednou byli a nic nás nesežralo" pak je určitě lepší chodit do levého lesa dále. Jenže to už část pokusů vzala za své. Pokud to vynásobíme pravděpodobností, že se tak daleko vůbec dostaneme, vyjde to podle mě zase stejně, jako v tom prvním případě (kdy žádnou informaci nemáme).

Offline

 

#7 24. 05. 2018 21:56

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Re: Zlí a hodní draci

↑ MichalAld:
Stategii můžeme volit na základě předchozích pokusů - resp. vždy můžeme předpokládat, že nás nic v předchozích krocích nesežralo, protože kdyby to nastalo, tak další krok už neprovedeme. Takže vlastně nemusíme znát expost výsledek předchozích kroků - ten je dán tím, že nás nic nesežralo - a tedy tento výsledek můžeme předpokládat už předem při tvorbě strategie.

Nabízí se tato úvaha: Pokud jsou p,q obrovská a nic nás nesežralo, tak je velká šance, že v daném lese není zlý drak - a opravdu se vyplatí chodit tam.
Na druhou stranu - pokud jsou p,q malá, tak by se možná vyplatilo lesy střídat a tak rozložit šanci k sežrání na polovinu.
Je to ale jen neformální úvaha nepodložená výpočty.

Ještě jsem v zadání neřekl, zda hodnoty p,q předem známe - bylo by zajímavé řešit úlohu v obou těchto případech.


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#8 24. 05. 2018 22:31

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5084
Reputace:   194 
Web
 

Re: Zlí a hodní draci

Já uvažuju takhle: Pokud jsou oba draci zlí nebo oba hodní, je úplně jedno, co dělám, takže má smysl zabývat se jenom případem, kdy je jeden drak hodnej a druhej zlej. Pokud budu chodit stále do jednoho lesa, mám pst 1/2, že budu dřív nebo později sežrán, 1/2 že sežrán nebudu nikdy. Pokud budu lesy pravidelně střídat, mám jistotu, že budu sežrán.

Obecněji by se asi dalo říct, že pokud oba lesy plánuji navštívit nekonečněkrát, pak budu jistě sežrán. Pokud jeden z lesů plánuji navštívit jen konečněkrát, pak zbytečně riskuji, pokud to je les se zlým drakem; pokud je tam hodný drak, získám tím jen těch pár návštěv navíc do neodvratného sežrání.

Přesné pravděpodobnosti sežrání a střední doby přežití (když to zrovna není nekonečno) jsem línej počítat.

TL;DR: Já bych si vybral jeden les a chodil jen do něj.

Offline

 

#9 25. 05. 2018 21:36

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Re: Zlí a hodní draci

↑ Stýv:
Ahoj, ale těch návštěv lesů je jen m a ne nekonečně mnoho - otázka je, jak dobrou aproximací je chování v nekonečnu pro velká m.
Sice jsem výše psal, že pro velká p,q bych volil návštěvu stejného lesa, ale když o tom teď přemýšlím, spíš bych to střídal. Zkusím si to nasimulovat a uvidím...


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#10 25. 05. 2018 23:07

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Re: Zlí a hodní draci

Ještě se nabízí obecná strategie, že si zvolím náhodně les, který navštívím - ale pravděpodobnost toho, který to bude, bude záviset na tom, kolikrát jsme které lesy již navštívili. Tohle ale už nenasimuluju, protože není jasně dána pravděpodobnost, který les navštívím (startegie je zatím příliš obecná).


Nikdy nechibuji.

Offline

 

#11 25. 05. 2018 23:32

Stýv
Vrchní cenzor
Místo: Q
Příspěvky: 5084
Reputace:   194 
Web
 

Re: Zlí a hodní draci

No tak s počtama: pokud navštívíš oba lesy celkem m-krát a z toho jeden x-krát a druhý (m-x)-krát, máš pst přežití $\frac12(1-q)^x+\frac12(1-q)^{m-x}$. Pro jaká x nabývá tahle funkce minima a maxima?

Offline

 

#12 28. 05. 2018 22:33

check_drummer
Příspěvky: 2554
Reputace:   66 
 

Re: Zlí a hodní draci

Vypadá to, že nestřídat. Tak nakonec nic zajímavého...


Nikdy nechibuji.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson