Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 11. 08. 2018 22:41 — Editoval check_drummer (11. 08. 2018 22:41)

check_drummer
Příspěvky: 2589
Reputace:   71 
 

Zobecnění hry kámen, nůžky papír

Ahoj,
mějme hru hru dvou hráčů, kdy každý hráč předem zvolí z daných n symbolů jeden a následně si tyto symboly vzájemně sdělí. Je dáno pravidlo, který symbol porazí který, a pokud to nastane, získává vyhrávající hráč bod. (Může nastat i remíza a za tu se body neudělují.) Chceme navrhnout "co nejlepší" strategii - ve smyslu, že bude sehráno mnoho her a který z hráčů po těchto mnoha hrách získá více bodů, vyhrál.

Přesněji:
1) Strategie spočívá v tom, že každému symbolu je přiřazena nějaká pevná pravděpodobnost, se kterou bude symbol zvolen a při každé hře je nějaký symbol vybrán úměrně této pravděpodobnosti. V příští hře je vybrán symbol nezávisle na volbě symbolu v předchozí hře.

2) Nejlepší strategie je ta, se kterou lze očekávat největší pravděpodobnost výhry při co nejlepší zvolené protistrategii soupeře.

(Lze volit i jiné, alternativní definice strategie, bylo by zajímavé je prozkoumat.)

Např. při hře kámen-nůžky-papír  je tedy n=3 a lze ukázat, že nejlepší strategie je přiřadit každému symbolu pravděpodobnost 1/3.
Ve složitější variantě známé z Teorie velkého třesku kámen-nůžky-papír-tapír-Spock (n=5) každý sybol zvítězí i prohraje se dvěma ostatními symboly, takže zde bude ona pravděpodobnost volby každého symbolu také vždy stejná (1/5) (a tedy je celkem nezajímavá), ale by bylo zajímavé tuto hru modifikovat tak, aby některý symbol zvítězil nad třemi a prohrál jen s jedním symbolem.

Otázka je, zda nejlepší strategie vždy závisí jen na "lokálním okolí" danéhu symbolu, tj. že hledané pravděpodobnosti volby symbolu lze vyjádřit pouze ze znalosti, s kolika symboly tyto symboly prohrají/vyhrají a nebo zda je pro stanovení strageie nutná nějaká další znalost "grafu" zachyujícího relaci "vyhrává nad".

(Nejspíš je toto téma teoreticky zpracováno pomocí teorie her, a to pomocí pojmů maticová hra, smíšená strategie, na základě čehož by mělo být možná otázky výše také zodpovědět.)


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#2 12. 08. 2018 15:57

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1362
Reputace:   41 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

Podle mě se na tom nic nevymyslí.
Pokud je každá z voleb (kámen-nužky-papír-.....) stejně dobrá, tj má stejnou naději na výhru, tak nejlepší co můžeme udělat je náhodně je střídat. Pokud je nebudeme střídat náhodně, hrozí že protihráč odhalí způsob, jakým střídání provádíme.

Pokud by nějaká volba byla lepší než ostatní, bude nejlepší strategie používat tu nejlepší volbu.

Aspoň mi to tak připadá logické...

Offline

 

#3 12. 08. 2018 23:04

check_drummer
Příspěvky: 2589
Reputace:   71 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

Ahoj

MichalAld napsal(a):

Podle mě se na tom nic nevymyslí.
Pokud je každá z voleb (kámen-nužky-papír-.....) stejně dobrá, tj má stejnou naději na výhru, tak nejlepší co můžeme udělat je náhodně je střídat.

To ano, ale to je speciální případ. Nás zajímá obecné řešení.

MichalAld napsal(a):

Pokud by nějaká volba byla lepší než ostatní, bude nejlepší strategie používat tu nejlepší volbu.

Co myslíš tím, že je nějaká volba lepší než ostatní?


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#4 12. 08. 2018 23:11

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1362
Reputace:   41 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

↑ check_drummer:
No kdyby byla třeba hra kámen-nůžky-papír-černá díra, kde černá díra by vítězila nad vším ostatním.

Offline

 

#5 12. 08. 2018 23:37

check_drummer
Příspěvky: 2589
Reputace:   71 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

↑ MichalAld:
To je také pravda, ale nás zajímá obecné řešení, nikoli jen speciální případy.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#6 12. 08. 2018 23:49

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 1362
Reputace:   41 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

Já moc nechápu, v čem spočívá ta obecnost.

Ještě jsem koukal, že předpokládáš, že tahy soupeře nemusejí být optimální, ale budou mít předem danou pravděpodobnost.

Ale co se týká vlastní hry - jaké je vlastně to obecné zadání ?

Offline

 

#7 12. 08. 2018 23:54

check_drummer
Příspěvky: 2589
Reputace:   71 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

↑ MichalAld:
Obecnost je v tom, že je dán libovolný počet symbolů a libovolné vztahy mezi nimi - který symbol porazí který.
Tou pravděpodobností je ale dána optimalita - jsou hry, kdy optimální strategie jedána těmi pravděpodobnostmi. Takže předpokládám optimální reakci soupeře. Samozřejmě speciálním případem takové strategie může být hrát pořád jeden symbol.
To obecné zadání popisuji výše hned v prvním příspěvku - je dáno n symbolů a obecné vztahy který symbol vítězí nad kterým.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#8 14. 08. 2018 22:51 — Editoval check_drummer (14. 08. 2018 23:52)

check_drummer
Příspěvky: 2589
Reputace:   71 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír

Stačí zkoumat ty grafy, ve kterých neexistují vrcholy, ze kterých nevedou žádné hrany (šipky) - ty lze odstranit (případně i rekurzivně). Pokud existuje vrchol, do kterého nevede žádná hrana (šipka), pak lze jako strategii volit vždy tento vrchol a vždy alespoň remizujeme.
Tedy zajímavé jsou jen ty případy, kdy je každá hrana součástí nějaké (orientované) kružnice, případně není-li tomu tak, tak se tato hrana nalézá na nějaké cestě spojující dvě kružnice.

Edit: Lze se omezit na maximální podgraf takový, že každá hrana leží na nějaké kružnici a takový, že do žádného vrcholu tohoto podrafu nemíří jiná hrana ležící mimo tento podgraf (tj. hrana spojující dvě kružnice a která sama na kružnici neleží). Stačí to, protože ostatním vrcholům mimo tento podgraf přiřadíme pravděpodobnost 0.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#9 14. 08. 2018 23:31

vanok
Příspěvky: 12935
Reputace:   715 
 

Re: Zobecnění hry kámen, nůžky papír


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson