Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#76 29. 09. 2018 13:34 — Editoval vanok (05. 10. 2018 02:54)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pozdravujem ↑↑ MichalAld:,
Niekedy porozumiet dokaz v matematike potrebuje cas. 
Skusme napredovat.   
Kludne mozes pouzit vyssie napisane vety a si  s casu na cas precitaj ich dokazy. A uvidis, ze po viacerych pozornych citaniach, ti z razu bude vsetko jasne.   

Tak pokracujme z vetou 3. 
V nej ide o upresnenie grupy $\Bbb Z_n$ vdaka rozlozeniu $n$ na jeho prvociselne factory. 

V dokaze pouzijem vlasnost konecnych telies ( ktoru tu teraz nedokazem, ale  mozmem, ak o tom tu pridat jej dokaz, ak si to niekto zela). Ide o multiplikativna grupa konecneho telesa je cyklicka.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#77 30. 09. 2018 22:40

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
V nasledujucych dokazoch treba rozlisovat dva pripady: p=2 alebo p je neparne. 
Na dokaz
B)$( \Bbb Z_{p^{\alpha}})^* \cong  \Bbb Z_{\phi(p^{\alpha})}\cong \Bbb Z_{p^{\alpha-1}(p-1)}$ , kde $ \alpha \ge 2$ a $ \alpha$ je cele cislo a tiez nech prvocislo $p \ge 3$.
pouzijeme

Ak $k\in \Bbb N^*$,tak $(1+p)^{p^k}=1+\lambda p^{k+1}$ kde $\lambda \in \Bbb N^*$ je nesudelitelne z$p$.


Dokaz sa da urobit vdaka indukcii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#78 01. 10. 2018 14:34 — Editoval vanok (02. 10. 2018 16:27)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
Akoze, zatial som nevidel ziadnu reakciu tak tu dam zaciatok dokazu poslednej vlasnosti. 
Pre $k=1$ mame $(1+p)^p=1+{p \choose 1}p+...+ {p \choose i}p^i+...+p^p$.
Akoze, pre $1\le p; p|{p \choose i}$, a pre $p>i \ge 2; p^3|{p \choose i}p^i$ a samozrejme pre $p \ge 3; p^3|p^p$ tak na koniec  mame aj:
$(1+p)^p=1+p^2+u.p^3=1+p^2(1+u.p)$ ( kde u je prirodzene cislo take, ze ...). A ak polozime $\lambda=1+u.p$ ( iste okamzite vidis, ze $\lambda$ je nesudelitelne s $p$) mame ukonceny dokaz pre $k=1$

Chces skusit pokracovat?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#79 02. 10. 2018 16:25 — Editoval vanok (07. 10. 2018 16:01)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Teraz dokazem, ze ak vlasnost z #77 plati pre n=k, tak plati aj pre n=k+1. 
Cize,predpokladam, ze $(1+p)^{p^k}=1+\lambda_k p^{k+1}$.
Co da ( necham ti samemu zvovodnit nejake mikroetapy)  $(1+p)^{p^{k+1}}=(1+\lambda_k p^{k+1})^p=\sum_{i=0}^{i=p}{p\choose i}(\lambda p^{k+1})^i$ a konecne $(1+p)^{p^{k+1}}=1+(\lambda_k+u.p) p^{k+2}$ (kde oznacim $\lambda_{k+1}=\lambda_k+u.p$ )


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#80 03. 10. 2018 09:06

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Maly doplnok ( co sa tyka tych mikroetap)
$\sum_{i=0}^{i=p}{p\choose i}(\lambda p^{k+1})^i= 1+\lambda p^{k+2}+\sum_{i=2}^{i=p-1}{p\choose i}(\lambda p^{k+1})^i+\lambda^pp^{(k+1)p}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#81 03. 10. 2018 09:18

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Teraz mozme pouzit vlasnost z #77 na dokaz, ze $1+p$ je prvok radu $p^{\alpha-1}$ grupy $( \Bbb Z_{p^{\alpha}})^*$
Vidite ako?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#82 04. 10. 2018 13:27 — Editoval vanok (07. 10. 2018 16:03)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Ako prve konstatujem, ze $(1+p)^{p^k}=1+\lambda_k p^{k+1}$ mi da pre $k=\alpha-1$:
$(1+p)^{p^{\alpha-1}}=1+\lambda_k p^{\alpha}$, co da $(1+p)^{p^{\alpha-1}} \equiv 1 \mod {p^{\alpha}}$
Ale to nestaci na dokaz ↑ vanok:, viete ako ho ukoncit?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#83 07. 10. 2018 16:29

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
Treba napr. este toto:
Pre  $i=1,2,...,\alpha-2$ mame $(1+p)^{p^k}=1+\lambda_k p^{k+1} \neq 1 ; \mod  {p^{\alpha}}$ (lebo $\lambda_k$ nie je delitelne cislom p).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#84 09. 10. 2018 06:18 — Editoval vanok (09. 10. 2018 06:19)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie.
Pripomeniem, ze akoze $\Bbb Z_p$ je teleso, tak $\Bbb Z_p^*$ je cyklicka grupa radu $p-1$.

Tiez je jasne , ze identita na $\Bbb Z$ nam da sujekciu
$\psi : (\Bbb Z_{p^\alpha} )^* \to (\Bbb Z_p)^*:[x \mod p^\alpha ]\mapsto [x \mod p]$, ktoru pouzijeme na ukoncenie dokazu vety 3 B).
Tiez nam bude uzitocne vediet, ze

Pre prvky $a;b$ grupy $G$ radov $m;n$, ktore komutuju (cize $ab=ba$) a $m;n$ su nesudelitelne, potom rad prvku $ab$ je $mn$.

( dokaz je velmi jednoduchy, ak treba ho tu pridam)

V buducom prispevku ukoncim dokaz vety 3 B).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#85 10. 10. 2018 23:26

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Tak slubeny koniec dokazu:
Nech $y \in (\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$ take, ze $\psi(y)$ generuje $ \Bbb Z_p^* \cong \Bbb Z_{(p-1)}$.
Nech $r$ je rad prvku $y$.
Tak $1=\psi (y^r)=( \psi (y))^r$ a preto $p-1|r$; a tak existuje $x \in <y>$ radu $p-1$
Akoze grupa$(\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$ je komutativna, prvok $x(p+1)$ ma rad $NSN(p-1;p^{\alpha-1})=(p-1)p^{\alpha-1}=card (\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$.
Co da, ze $(\Bbb Z_{p^\alpha} )^*$je cyklicka a isomorfna s grupou $  \Bbb Z_{\phi(p^{\alpha})}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#86 13. 10. 2018 07:23 — Editoval vanok (14. 10. 2018 15:56)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pokracovanie. 
Tak ostava dokazat  este  cast vety 3 C), D) a F) ( cize situaciu ked p=2). 
C) a D) su velmi jednoduche, tak dokazme poslednu cast vety F) vety 3). 

Na to pouzijeme vlasnost

Nech $k \in \Bbb N^*$ (k nenulove prirodzene cislo),
potom $5^{2^k}=1+\lambda_k.2^{k+2}$ kde $\lambda_k$ je neparne

Tato vlasnost sa ukaze vdaka indukcii. 

Na pokracovvanie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#87 14. 10. 2018 16:48 — Editoval vanok (15. 10. 2018 15:06)

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Dokaz vlasnosti z#86.
Pre k=1, mame $5^2=1+2^3$.
Predpokladajme, ze plati $5^{2^k}=1+\lambda_k.2^{k+2}$,
tak $5^{2^{2k+1}}=(1+\lambda_k.2^{k+2})^2=1+\lambda_k2^{k+3}+\lambda^2 2^{2k+4}=(1+\lambda_{k+-}k.2^{k+3})^2$.

Ukoncenie dokazu  vety  3 F)
Je jasne,ze 5 je radu $2^{\alpha-2}$ v $\Bbb Z_{2^{\alpha}}$
Je tiez jasne, ze identita na $\Bbb Z$ da
$\psi : (\Bbb Z_{2^\alpha} )^* \to (\Bbb Z_4)^*:[x \mod 2^\alpha ]\mapsto [x \mod 4]$.
A tak isomorfismus
$f: (\Bbb Z_{2^\alpha} )^* \to ker \psi \times \{1;-1\}$ kde $f(x)=(x;1)$ pre $x \equiv 1 mod  4$ a $f(x)=(-x;-1)$ pre $x \equiv 3 mod  4$.
En plus $\ker \psi$ obsahuje groupu generovanu prvkom $5$ a vdaka radu prvku 5,  $ker \psi =<5>$ je radu $2.^{\alpha-2}$
Co ukoncuje dokaz.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#88 Včera 16:03

vanok
Příspěvky: 13018
Reputace:   717 
 

Re: Realne matice

Pozdravujem,
Zatial nase uvahy o maticach v specialnych pripadoch nas doviedli k uvaham v teorii grup. 
A tak sme aj dokazali nejake uzitocne vlasnosti.   

Akoze ostavame ( zatial) len v jednoduchych pripadoch.
Polozme si takuto otazku.

Mame danu stvorcovu maticu A.   
Ako popisat vsetki matice B, ktore s nou komutuju?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson