Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#126 01. 10. 2018 03:18 — Editoval stuart clark (01. 10. 2018 03:19)

stuart clark
Příspěvky: 827
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem $(36)$ Finding $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}\cdot \tan\bigg(\frac{\pi n+2}{2n+2}\bigg).$

Offline

 

#127 01. 10. 2018 12:07

kerajs
Příspěvky: 143
Reputace:   12 
 

Re: Limitny maraton

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}\cdot \tan\bigg(\frac{\pi n+2}{2n+2}\bigg)=[0\cdot (\pm \infty )]=\\
\stackrel{[H]}{=}\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{\cos ^2\frac{\pi n+2}{2n+2}}\cdot \frac{2(\pi-2)}{(2n+2)^2}}{1}=
\lim_{n\to\infty }\frac{1}{\sin ^2\frac{\pi -2}{2n+2}}\cdot \frac{2(\pi-2)}{(2n+2)^2}=\\
=\lim_{n\to\infty }\frac{(\frac{\pi -2}{2n+2})^2}{\sin ^2\frac{\pi -2}{2n+2}}\cdot \frac{2}{\pi-2}=\frac{2}{\pi-2}$

Offline

 

#128 01. 10. 2018 15:45 — Editoval krakonoš (01. 10. 2018 16:42)

krakonoš
Příspěvky: 226
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Or without L Hospital
You can  take tan argument as sin argument/cos argument. you can get limit
1/((cos (pi plus 2/n  /2 plus 2/n)).(n plus 1)). You can use cos(argument) is the same as sin(pi/2-argument).Finaly sin(argument) replace argument. You will get the same result.

Offline

 

#129 02. 10. 2018 20:58 — Editoval vanok (07. 10. 2018 19:07)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Problèmes  (37). 
Nech pre $t\ge 0; f(t)= \frac t {\sqrt {1+t}}$.
Vysetrite realnu postupnost $(S_n)$ taku, ze $S_n= \sum_{k=1}^{n}f(\frac k{n^2})$.

Hint .
V okoli $0$, mame $|f(t)-t|\le\frac {t^2}2$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#130 07. 10. 2018 17:03

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Problem (37).
Ako prve ukazte, ze $|f(t)-t|\le\frac {t^2}2$.
Mozte vyuzit, ze $f(t)-t= t. \frac{1-\sqrt {1+t}} {\sqrt {1+t}}=-\frac{t^2}{(1+\sqrt {1+t})\sqrt{1+t}}$
Pokracujte.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#131 08. 10. 2018 14:21 — Editoval vanok (08. 10. 2018 14:35)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Problem (37)
Rychle dokoncenie dokazu.
Zaroven z $S_n= \sum_{k=1}^{n}f(\frac k{n^2})$ pouzijeme aj $S_n^*=\sum_{k=1}^{n}\frac k{n^2}$.

A konstatujeme, ze pre $\Delta_n=S_n-S_n^*$ mame $|\Delta_n|=|S_n-S_n^*| \leq \sum_{k=1}^{n}|f(\frac k{n^2})-\frac k{n^2}|\leq \frac 12 \sum_{k=1}^{n}\frac {k^2}{n^4
}$ ( posledna nerovnost plati vdaka navodu z textu cvicenia, ktoreho dokaz je naznaceny v predoslom prispevku ).

Najprv vidime, ze $\sum_{k=1}^{n}k^2\le \sum_{k=1}^{n}n^2=n^3$ a preto $|\Delta | \le \frac 1{2n}$; a tak $\lim_{n\to \infty}\Delta_n =0$ .
Akoze tiez $\sum_{k=1}^{n}k=\frac {n(n+1)}2$ da $S_n^*=\frac {n+1}{2n}$
A tak $\lim_{n\to +\infty}S_n^*=\frac 12$ a na koniec tiez $\lim_{n\to +\infty}S_n=\frac 12$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#132 09. 10. 2018 09:48 — Editoval stuart clark (09. 10. 2018 09:48)

stuart clark
Příspěvky: 827
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem (38) $\lim_{n\rightarrow \infty}n^2\cdot \sum^{n}_{k=1}\frac{4(2k-1)^4+1}{4(2k)^4+1}$

Offline

 

#133 11. 10. 2018 10:58

krakonoš
Příspěvky: 226
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

[re]Hi Stuart! There is my hint.
You need any paper and any pencil .Look at the limit sum.

Offline

 

#134 29. 10. 2018 23:48

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Z casu na cas tu dam aj problemy, ktore su pristupne vsetkym foristom ( ale mozu byt uzitocne na skuskach). 

Problem ( 39).
Dokazte, ze $\lim_{n\to +\infty}\frac {\sum_{k=1}^{n}k!}{n!}=1$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#135 30. 10. 2018 14:13

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1807
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:

The limit is $+\infty$ obviously, the series of positive terms is divergent for $n\to\infty$. However, I think that you have mistyped. It should be

$
\lim_{n\rightarrow \infty}n^2\cdot \prod^{n}_{k=1}\frac{4(2k-1)^4+1}{4(2k)^4+1}
$

Solution:


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#136 30. 10. 2018 14:16

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1807
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Stačí jednoduše použít Stolzovu větu:

$
\lim_{n\to +\infty}\frac {\sum_{k=1}^{n}k!}{n!}
&=\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)!}{(n+1)!-n!}
=\lim_{n\to +\infty}\frac{(n+1)!}{n\cdot n!}
=\lim_{n\to +\infty}\frac{n+1}{n}=1.
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#137 01. 11. 2018 19:20

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Servus ↑ Pavel:, (problem 39)
Alebo este, staci vyuzit, ze
$n! < \sum_{k=1}^{n}k! < (n-2)(n-2)!+(n-1)!+n! < 2(n-1)!+n!$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#138 02. 11. 2018 11:10 — Editoval vanok (02. 11. 2018 11:10)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Dalsi problem. 
Problem (40).
Dokazte, ze postupnost $(u_n)$, kde $u_n= \sum_{k=1}^{n}\frac 1{n+k}$ je konvergentna. 


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#139 02. 11. 2018 12:58

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok: (Problem 40)

Výpočtem diference dostáváme:

$
\Delta (u_n)
 &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\\[2mm]
 &=\sum_{k=2}^{n+2}\frac{1}{n+k}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\\[2mm]
 &=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}\\[2mm]
 &=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}>0.
$

Daná posloupnost je tedy ostře rostoucí.

Dále se dokáže její omezenost (kvůli kladnosti postačí shora), např. takto:

$
u_n
 &=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\\[2mm]
 &<\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\\
 &=1.
$

Daná posloupnost je tedy konvergentní.

(Výpočet její limity je však jiný úkol; předpokládám, že bude následovat).

Offline

 

#140 02. 11. 2018 20:34

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Marian:,
(problem 40)
Ta limita je, zda sa mi, ln 2.
Kto to chce overit?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#141 03. 11. 2018 12:05 — Editoval krakonoš (03. 11. 2018 13:05)

krakonoš
Příspěvky: 226
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:Ahoj.
Prosim te, jak jsi prisel na ln2?Mne vychazi odhad mezi 1/2 a 1.Ten ln2 by ciselne odpovidal,ale na druhou stranu tento soucet by mela mit"harmonicka rada se stridavymi znamenky".

Offline

 

#142 03. 11. 2018 13:57

Marian
Místo: Mosty u Jablunkova
Příspěvky: 2488
Škola: OU
Pozice: OA, VSB-TUO
Reputace:   64 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:

Návod:

K tomu stačí vhodné odhady (shora i zdola) harmonického čísla prvního řádu H_m=1+1/2+...+1/m. Poté je nutno si uvědomit, že studovaný člen, který limitujeme, lze psát jako

u_n=H_(2n)-H_n,

odkud se dostane výsledek avizovaný kolegou.

Offline

 

#143 03. 11. 2018 14:28 — Editoval krakonoš (03. 11. 2018 23:15)

krakonoš
Příspěvky: 226
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

↑ Marian:Dekuji moc za navod.
Rozdil tech dvou rad ,jak pises,zrejme souvisi s Euler -Mascheroniovou konstantou.Jestli chapu symboliku ,tak jde o harmonicke rady s castecnym souctem déky 2n a n.Puvodne jsem si to nejak blbe predstavila.

Offline

 

#144 03. 11. 2018 15:41 — Editoval vanok (06. 11. 2018 01:45)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ Marian:,
Alebo este mozme pouzit aj Riemann-ove sumy.



Ahoj ↑ krakonoš:,
Ako vidis, napisal som uplne riesenie ako nast pytanu limitu. 
Mozes nam napisat aj ty tvoje podrobne riedenie?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#145 05. 11. 2018 02:26

stuart clark
Příspěvky: 827
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem(41) $\sqrt{n}\cdot \int^{1}_{0}(1+x^2)^{-n}dx.$

Offline

 

#146 05. 11. 2018 18:01 — Editoval vanok (05. 11. 2018 18:02)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Hi ↑ stuart clark:,
Hint.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#147 05. 11. 2018 21:48 — Editoval vanok (05. 11. 2018 21:49)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Problem (42).

Vysetrite postupnost $(u_n)$ taku, ze  $u_0>-\frac 32$ a $u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#148 05. 11. 2018 22:38

laszky
Příspěvky: 1045
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   73 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Ahoj, rekl bych, ze reseni plyne z odhadu

Offline

 

#149 05. 11. 2018 23:41 — Editoval krakonoš (06. 11. 2018 00:37)

krakonoš
Příspěvky: 226
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

↑ laszky:Ahoj.
Tento priklad je nejak divne zadan
Kdyz budu uvazovat,ze uo je nula,tak to roste,kdyz u0 je 6 ,tak to klesa.

Tam musi byt zadano presne u0.  Vse zalezi na u0,u1.Takze,jrstli je monotonni,vysetrit nelze.Jedine lze urcit konvergentnost.
Aspon z toho,co uvadis,mi pripada,ze limita je 3.

Offline

 

#150 06. 11. 2018 01:41 — Editoval vanok (06. 11. 2018 13:19)

vanok
Příspěvky: 12999
Reputace:   717 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Problem (42) nie je divne zadany, skutocne nie! Vsak aj kolega ↑ laszky: (pozdravujem) nam napisal nerovnost, ktora vedie k limite postupnosti.


No si mysliet, ze je treba dat hodnotu $u_0$ nie je pravda.  Vsak som napisal vysetrite postupnost a to znamena, ze riesenie vyzaduje  uvazovat vsetki mozne situacie.


Pochopitelne mozme napisat riesenie aj podrobnejsie, ktore tu naznacim.

Napr. mozme najprv ukazat, ze funkcia $f:x\mapsto \sqrt{2x+3}$ je definovana, spojita,rastuca na $[-\frac 32;+\infty]$. Mozna limita je dana vdaka  $l=\sqrt{2l+3}$; $l\ge 0$....co da $l=3$.
A tiez je jasne vdaka tomu, ze f je rastuca, ze aj dana postupnost je monotonna.

Tak je prirodzene uvazovat tri pripady:
a) $-\frac 32 <u_0<3$
b)$u_0=3$
c)$u_0>3$

Tak teraz je mozne takto ukoncit tento podrobnejsi  dokaz, co je jednoduche.   ( ci nie? Tak v takom pripade ho mozem pridat).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson