Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#126 01. 10. 2018 03:18 — Editoval stuart clark (01. 10. 2018 03:19)

stuart clark
Příspěvky: 807
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem $(36)$ Finding $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}\cdot \tan\bigg(\frac{\pi n+2}{2n+2}\bigg).$

Offline

 

#127 01. 10. 2018 12:07

kerajs
Příspěvky: 143
Reputace:   12 
 

Re: Limitny maraton

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n+1}\cdot \tan\bigg(\frac{\pi n+2}{2n+2}\bigg)=[0\cdot (\pm \infty )]=\\
\stackrel{[H]}{=}\lim_{n\to\infty }\frac{\frac{1}{\cos ^2\frac{\pi n+2}{2n+2}}\cdot \frac{2(\pi-2)}{(2n+2)^2}}{1}=
\lim_{n\to\infty }\frac{1}{\sin ^2\frac{\pi -2}{2n+2}}\cdot \frac{2(\pi-2)}{(2n+2)^2}=\\
=\lim_{n\to\infty }\frac{(\frac{\pi -2}{2n+2})^2}{\sin ^2\frac{\pi -2}{2n+2}}\cdot \frac{2}{\pi-2}=\frac{2}{\pi-2}$

Offline

 

#128 01. 10. 2018 15:45 — Editoval krakonoš (01. 10. 2018 16:42)

krakonoš
Příspěvky: 58
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Or without L Hospital
You can  take tan argument as sin argument/cos argument. you can get limit
1/((cos (pi plus 2/n  /2 plus 2/n)).(n plus 1)). You can use cos(argument) is the same as sin(pi/2-argument).Finaly sin(argument) replace argument. You will get the same result.

Offline

 

#129 02. 10. 2018 20:58 — Editoval vanok (07. 10. 2018 19:07)

vanok
Příspěvky: 12905
Reputace:   715 
 

Re: Limitny maraton

Problèmes  (37). 
Nech pre $t\ge 0; f(t)= \frac t {\sqrt {1+t}}$.
Vysetrite realnu postupnost $(S_n)$ taku, ze $S_n= \sum_{k=1}^{n}f(\frac k{n^2})$.

Hint .
V okoli $0$, mame $|f(t)-t|\le\frac {t^2}2$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#130 07. 10. 2018 17:03

vanok
Příspěvky: 12905
Reputace:   715 
 

Re: Limitny maraton

Problem (37).
Ako prve ukazte, ze $|f(t)-t|\le\frac {t^2}2$.
Mozte vyuzit, ze $f(t)-t= t. \frac{1-\sqrt {1+t}} {\sqrt {1+t}}=-\frac{t^2}{(1+\sqrt {1+t})\sqrt{1+t}}$
Pokracujte.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#131 08. 10. 2018 14:21 — Editoval vanok (08. 10. 2018 14:35)

vanok
Příspěvky: 12905
Reputace:   715 
 

Re: Limitny maraton

Problem (37)
Rychle dokoncenie dokazu.
Zaroven z $S_n= \sum_{k=1}^{n}f(\frac k{n^2})$ pouzijeme aj $S_n^*=\sum_{k=1}^{n}\frac k{n^2}$.

A konstatujeme, ze pre $\Delta_n=S_n-S_n^*$ mame $|\Delta_n|=|S_n-S_n^*| \leq \sum_{k=1}^{n}|f(\frac k{n^2})-\frac k{n^2}|\leq \frac 12 \sum_{k=1}^{n}\frac {k^2}{n^4
}$ ( posledna nerovnost plati vdaka navodu z textu cvicenia, ktoreho dokaz je naznaceny v predoslom prispevku ).

Najprv vidime, ze $\sum_{k=1}^{n}k^2\le \sum_{k=1}^{n}n^2=n^3$ a preto $|\Delta | \le \frac 1{2n}$; a tak $\lim_{n\to \infty}\Delta_n =0$ .
Akoze tiez $\sum_{k=1}^{n}k=\frac {n(n+1)}2$ da $S_n^*=\frac {n+1}{2n}$
A tak $\lim_{n\to +\infty}S_n^*=\frac 12$ a na koniec tiez $\lim_{n\to +\infty}S_n=\frac 12$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#132 09. 10. 2018 09:48 — Editoval stuart clark (09. 10. 2018 09:48)

stuart clark
Příspěvky: 807
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem (38) $\lim_{n\rightarrow \infty}n^2\cdot \sum^{n}_{k=1}\frac{4(2k-1)^4+1}{4(2k)^4+1}$

Offline

 

#133 11. 10. 2018 10:58

krakonoš
Příspěvky: 58
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

[re]Hi Stuart! There is my hint.
You need any paper and any pencil .Look at the limit sum.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson