Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 11. 2018 19:15 — Editoval vanok (05. 12. 2018 04:43)

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Homograficke postupnosti

Pozdravujem, tu dam indikacie na vysetrenie rekurentnych postupnosti ktore splnuju :
$u_0$ dane a
$u_{n+1}=\frac {au_n+b}{cu_n+d}$ $(1)$
a tiez $ad-bc \neq 0 \wedge c\neq0$ .

Je ozaj uzitocne dobre poznat tieto vlasnosti.


Ak tato postupnost ma limitu $l$ tak $l=\frac {al+b}{cl+d}$.

V pripade, ze posledna rovnica ma 2 rozne korene $x_1>x_2$
$(1)$ sa da napisat v forme $u_{n+1}=\frac {u_{n+1}-x_1}{u_{n+1}-x_2}=q\frac {u_{n}-x_1}{u_{n}-x_2}$.

V pripade, ze ta rovnica ma ma dvojnasobny koren $x_1$
$(1)$ sa da napisat v forme $\frac 1{u_{n+1}-x_1}=\frac 1{u_{n}-x_1}+h$

Ako to vyuzit; to necham na vas.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 18. 11. 2018 19:26 — Editoval vanok (24. 11. 2018 17:30)

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Re: Homograficke postupnosti

Vyriesme  konkretny problem a tak  ukazme ako sa moze postupovat.

Pozor tu nejde o kompletne riesenie, (ide skor dam navod ako na to).

Nech $u_0=\frac 12$
a $u_{u+1}=\frac{5u_n+3}{u_n+4}$, pre lubovolne prirodzene $n$.

I) ukazme najprv, ze postupnost je dobre definovana ( dokonca $u_n>0$)
Dokaz sa da urobit matematickou indukciou.


II)uvazujme funkciu $f$ definovanu na $]-4;+\infty[ $ taku ze $f(x)=\frac {5x+3}{x+4}$.
a) najdime najprv riesenie rovnice $f(x)=x$ ( ukazeme, ze tato rovnica ma dva korene :  $ x_1>x_2$


b) ukazte, ze $f$ je rastuca


2) ukazte, ze $(\frac {u_n-x_1}{u_n-x_2})$ je geometricka postupnost
Overte si tu vas postup

A tak mame  $\frac {u_n-x_1}{u_n-x_2}= {\lambda }^n . \frac {u_0-x_1}{u_0-x_2}$, kde $|\lambda |<1$ ( to vam necham dokazat). 
3)Teraz, lahko ukazete, ze $u_n$ sa da vyjadrit vdaka $u_0$ a $n$.
Kontrola
4) teraz urcite vieme urcit limitu postupnosti.   

5) Ak by nam islo len o limitu postupnosti, tak ju mozme nast aj inac.  ( dokaz, necham citatelom)
a) ukazme indukciou, ze  $\forall n \in \Bbb N, u_n\leq u_{n+1}$
b) a tiez $\forall n \in \Bbb N, u_n\leq x_1$
c) ukazte sami, ze dana postupnost konverguje k $x_1$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#3 19. 11. 2018 16:48 — Editoval Pavel (19. 11. 2018 16:50)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1806
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Homograficke postupnosti

↑ vanok:

Jen poznamenám, že rekurence, kterými se zabýváš, lze explicitně vyřešit. Ta, kterou uvádíš, má tvar

$
u_n=\frac 12\cdot\frac{\left(1+\sqrt{13}\right)\cdot\left(9+\sqrt{13}\right)^n+\left(1-\sqrt{13}\right)\cdot\left(9-\sqrt{13}\right)^n}{\left(9+\sqrt{13}\right)^n+\left(9-\sqrt{13}\right)^n}\,,\quad n\in\mathbb N_0
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#4 19. 11. 2018 23:12 — Editoval vanok (20. 11. 2018 22:56)

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Re: Homograficke postupnosti

Cau ↑ Pavel:,
Mas pravdu.   To jeden objektiv tohto vlakna.
No vsak tu ukazem foristom ako sa pride k takym vysledkom.  ( dat im len odpoved podla mna v tomto pripade nestaci)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 24. 11. 2018 18:48

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Re: Homograficke postupnosti

Dufam, ze priklad dany v #2 vam ukazal, ako riesit podobne problemy.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson