Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 11. 2018 19:33

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Olympicke cvicenie

Pozdravujem.

Nech je $A=4444^{4444}$.
$B$ ciferny sucet cisla $A$,
$C$ ciferny sucet cisla $B$,
$D$ ciferny sucet cisla $C$.
Vypocitajte $D$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 20. 11. 2018 10:49

Honzc
Příspěvky: 3829
Reputace:   211 
 

Re: Olympicke cvicenie

Offline

 

#3 22. 11. 2018 01:46

check_drummer
Příspěvky: 2599
Reputace:   71 
 

Re: Olympicke cvicenie

↑ vanok:
Ahoj,


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#4 22. 11. 2018 05:09 — Editoval vanok (22. 11. 2018 07:59)

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Re: Olympicke cvicenie

Komentar a jedno riesenie ( bez akejkolvek kalkulacky, ktore su zakazane na olympiadach).
Staci vediet ze
A) sucet cislic daneho  prirodzeneho cisla  $M$ a cisla $M$ maju rovnaky zvysok po deleni  cislom 9. 
Co da $A\equiv B\equiv C\equiv D\equiv 7$ mod 9
B) nie je nutne robit presne vypocty, lebo odhady cisiel A, B, C, D postacia
Tak $A\leq 10000^{4444}=10^{5 \times 4444}=10^{22220}$
$A$ ma menej ako $22220$  cislic ktore su najviac $9$
Preto $B \leq 9 \times 22220<9 \times 25000= 225000$, $B$ ma prvu cislicu najviac $2$ a ostatne najviac $9$
co sa $C\leq 2+9 \times 5=47$
Podobne $D\leq 4+9=13$

C) Akoze mod 9 existuje jedine cislo mensie ako 13 a rovne cislu 7, mame $D=7$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#5 27. 11. 2018 09:33

Honzc
Příspěvky: 3829
Reputace:   211 
 

Re: Olympicke cvicenie

↑ vanok:
Zdravím,
jak se prosím tě přišlo na toto: $A\equiv B\equiv C\equiv D\equiv 7\text{ mod 9}$

Offline

 

#6 27. 11. 2018 12:09

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Re: Olympicke cvicenie

Pozdravujem ↑ Honzc:,
Mysli na kriterium delitelnosti cislom 9. 
Potrebujes podrobny dokaz?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 28. 11. 2018 13:34

vanok
Příspěvky: 12997
Reputace:   717 
 

Re: Olympicke cvicenie

Ahoj ↑ Honzc:,
Tak dobre., napisem ti viac podrobnosti, zo zaciatkom dokazu. 
Co sa tyka $A\equiv B \text{ mod 9}$ (1)  to ti urcite jasne, ze. 
Primeniem este dalsiu velmi znamu vlasnost

Ak mame pre cele cisla $a,b,c,d$  take, ze $a\equiv b ;c\equiv d \text { mod 9}$ potom $ac \equiv bd \text { mod 9}$
. (2)
Tak mas vdaka (1), $4444 \equiv 4+4+4+4 \equiv 16 \equiv 1+6 \equiv 7$
A zvysok vdaka (2):
Najprv $7^2 \equiv 49 \equiv 4+9 \equiv 13 \equiv 1+3 \equiv 4$
Potom $7^3\equiv 7^2. \times 7\equiv 4 \times 7 \equiv 28 ... \equiv 1$

A tiez $4444= 3k+1$

Staci?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson