Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 12. 2018 18:02

stitch123
Příspěvky: 28
Škola: SPŠEIT Brno
Pozice: student
Reputace:   
 

Důkaz matematickou indukcí

Zdravím!

Mám matematickou indukcí dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + n(n+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)*(n+2)*(3n+5)$

Jako první krok jsem si za $n$ dosadil jedničku. Vyšlo mi, že se levá strana rovná pravé.

Potom jsem přepsal všechny $n$ na $k$ a přidal si do rovnice k+1. člen.

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2 + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Nahradil jsem $1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2$ za $\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5)$

$\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5) + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Vynásobil jsem celou rovnici dvanácti.

$k*(k+1)*(k+2)*(3k+5)+12*(k+1)*(k+2)^2 = (k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

A tady jsem v podstatě skončil... Jediný, co mě napadá, je závorky postupně roznásobovat, ale to se mi zdá strašně otrocký a je tam velká šance na chybu z nepozornosti. Neexistuje nějaký inteligentnější řešení, prosím?

Offline

 

#2 23. 12. 2018 18:43

jarrro
Příspěvky: 4946
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

$\frac{1}{12}k\(k+1\)\(k+2\)\(3k+5\)+\(k+1\)\(k+2\)^2=\frac{1}{12}\(k+1\)\(k+2\)\(k\(3k+5\)+12k+24\)=\nl
=\frac{1}{12}\(k+1\)\(k+2\)\(3k^2+17k+24\)=\frac{1}{12}\(k+1\)\(k+2\)\(k+3\)\(3k+8\)
$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 23. 12. 2018 19:00 — Editoval stitch123 (23. 12. 2018 19:01)

stitch123
Příspěvky: 28
Škola: SPŠEIT Brno
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

↑ jarrro: Díky za odpověď, ale buď tomu nerozumím, nebo ti to nevyšlo.

$\frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8) \neq \frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+6)$

Offline

 

#4 23. 12. 2018 19:35 — Editoval jarrro (23. 12. 2018 19:36)

jarrro
Příspěvky: 4946
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

↑ stitch123:$\frac{1}{12}\(k+1\)\(k+2\)\(k+3\)\(3k+6\)$ nepotrebuješ.
potrebuješ $\frac{1}{12}\(k+1\)\(k+2\)\(k+3\)\(3\(k+1\)+5\)=
\frac{1}{12}\(k+1\)\(k+2\)\(k+3\)\(3k+8\)
$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 23. 12. 2018 19:46

Pomeranc
Příspěvky: 66
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

stitch123 napsal(a):

Zdravím!

Mám matematickou indukcí dokázat, že pro všechna přirozená čísla platí

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + n(n+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)*(n+2)*(3n+5)$

Jako první krok jsem si za $n$ dosadil jedničku. Vyšlo mi, že se levá strana rovná pravé.

Potom jsem přepsal všechny $n$ na $k$ a přidal si do rovnice k+1. člen.

$1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2 + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Nahradil jsem $1 * 2^2 + 2 * 3^2 + ... + k(k+1)^2$ za $\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5)$

$\frac{1}{12}k(k+1)*(k+2)*(3k+5) + (k+1)*(k+2)^2 = \frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

Vynásobil jsem celou rovnici dvanácti.

$k*(k+1)*(k+2)*(3k+5)+12*(k+1)*(k+2)^2 = (k+1)*(k+2)*(k+3)*(3k+6)$

A tady jsem v podstatě skončil... Jediný, co mě napadá, je závorky postupně roznásobovat, ale to se mi zdá strašně otrocký a je tam velká šance na chybu z nepozornosti. Neexistuje nějaký inteligentnější řešení, prosím?

$\frac{1}{12}(k+1)*(k+2)*(k+3)*\textbf{(3k+6)}$

Chybu máš při dosazení k+1

Offline

 

#6 23. 12. 2018 20:06

stitch123
Příspěvky: 28
Škola: SPŠEIT Brno
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz matematickou indukcí

Ahá, už to vidím... Když jsem to viděl v tom příspěvku od jarrra, tak jsem si to hned neuvědomil.

Díky oběma.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson