Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 01. 2019 18:55 — Editoval Marcia24 (12. 01. 2019 18:57)

Marcia24
Příspěvky: 94
Reputace:   
 

Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

Dobrý den, jak se prosím tohle vypočítá? Děkuji
http://forum.matematika.cz/upload3/img/2019-01/15751_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG
Výsledek: $L[f] = \frac{2}{p^3} + Ce^{\frac{p^2}{2}}$

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Marcia24)

#2 12. 01. 2019 19:17

laszky
Příspěvky: 1131
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   86 
 

Re: Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

↑ Marcia24:

Ahoj. Integracnim faktorem $F(p)$ prenasobime rovnici $y'(p)+a(p)y(p)=-2p^{-2}$ a ziskame:

$F(p)y'(p)+F(p)a(p)y(p)=-2F(p)p^{-2}$

Integracni faktor tak musi splnovat:

$F'(p)=a(p)F(p)=-\left(p-3p^{-1}\right)F(p)$

Separaci promennych ziskame:

$\ln F(p) = C-(p^2/2-3\ln p)$, neboli (volime C=0)  $F(p) = p^3\mathrm{e}^{-p^2/2}$

Dosadime-li zpet do puvodni rovnice:

$y'(p)p^3\mathrm{e}^{-p^2/2}-(p^4-3p^2)\mathrm{e}^{-p^2/2}y(p)=-2p\mathrm{e}^{-p^2/2}$

coz lze zapsat jako:

$\left(y(p)p^3\mathrm{e}^{-p^2/2}\right)'=-2p\mathrm{e}^{-p^2/2}$

takze plati:

$y(p)p^3\mathrm{e}^{-p^2/2}=\int -2p\mathrm{e}^{-p^2/2}\mathrm{d}p = 2\mathrm{e}^{-p^2/2} +C  $.

Po vydeleni ziskame:

$y(p) = \frac{2}{p^3} + \frac{C}{p^3}\mathrm{e}^{p^2/2}$

Offline

 

#3 13. 01. 2019 04:38

Marcia24
Příspěvky: 94
Reputace:   
 

Re: Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

Moc děkuji a proč tady není u podmínky na integrační faktor jen
$F'(p)=a(p)=-\left(p-3p^{-1}\right)$ ?

A jak se získá $\ln F(p) = C-(p^2/2-3\ln p)$  ?

Integruje se toto?
$\frac{F'(p)}{F(p)}=-\left(p-3p^{-1}\right) $

Offline

 

#4 13. 01. 2019 05:45

laszky
Příspěvky: 1131
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   86 
 

Re: Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

↑ Marcia24:

Ahoj. Protoze tim integracnim faktorem prenasobujes celou rovnici.

Takze ziskas $F(p)y'(p)+F(p)a(p)y(p)=\cdots$ a levou stranu chces zapsat jako

$(F(p)y(p))' = F(p)y'(p)+F'(p)y(p)$.

Z toho je videt, ze musi platit $F'(p)=a(p)F(p)$, neboli $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d}p}=a(p) F$,

coz lze zapsat jako $\frac{\mathrm{d}F}{F}=a(p)\mathrm{d}p =-\left(p-3p^{-1}\right)\mathrm{d}p$ a integrovanim ziskas

$\int \frac{\mathrm{d}F}{F}=\int -\left(p-3p^{-1}\right)\mathrm{d}p \quad \Rightarrow \quad \ln F(p) = C-(p^2/2-3\ln p)$

Offline

 

#5 13. 01. 2019 08:38

Marcia24
Příspěvky: 94
Reputace:   
 

Re: Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

↑ laszky:
Děkuji a ještě prosím, proč se tenhle integrál něpočítá jako Gaussův? $y(p)p^3\mathrm{e}^{-p^2/2}=\int -2p\mathrm{e}^{-p^2/2}\mathrm{d}p = 2\mathrm{e}^{-p^2/2} +C  $ Děkuju

Offline

 

#6 13. 01. 2019 08:55

LukasM
Příspěvky: 3139
Reputace:   184 
 

Re: Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

↑ Marcia24:
Ptáš se na to, proč se integrál $\int xe^{-ax^2} \mathrm{d}x$ nepočítá jako Gaussův (tedy integrál $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2}\mathrm{d}x$)? Za prvé je to jednoduchý integrál okamžitě řešitelný substituční metodou a hlavně to není Gaussův integrál (je tam $x$ navíc a je neurčitý).

Ale možná jsem špatně pochopil otázku.

Offline

 

#7 13. 01. 2019 08:59

Marcia24
Příspěvky: 94
Reputace:   
 

Re: Rovnice - integrační faktor a Laplacova transformace

Děkuji

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson