Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 26. 05. 2009 00:34 — Editoval Kondr (28. 05. 2009 11:05)

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Májové googlení

EDIT: přidána úloha b), úloha a) byla lehčí než jsem myslel.

Možná to znáte, možná najdete na netu, ale je to zajímavé ...

a) Najděte příklad konečně generované grupy G a její podgrupy H tak, aby H nebyla s G totožná, ale aby H a G byly izomorfní.

b) Najděte příklad konečně generované grupy G a její podgrupy H tak, aby H nebyla s G totožná, ale aby $H^n$ a G byly izomorfní pro nějaké n>1 nebo ukažte, že taková neexistuje.

c) Najděte příklad grupy G a její podgrupy H tak, aby $H^n$ a G byly izomorfní pro nějaké n>1.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#2 26. 05. 2009 09:49 — Editoval Rumburak (26. 05. 2009 10:55)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Májové googlení

Domnívám se, že úlohu (a) řeší
G - aditivní grupa celých číísel,
H - aditivní grupa sudých celých čísel.

Offline

 

#3 26. 05. 2009 10:29

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Májové googlení

↑ Rumburak:Výborně. Úloha byla inspirována jednou konkrétní pěknou grupou a koukám, že k oddělení "zrna od plev" je potřeba trochu silnější vlastnost. Ikdyž možná ani ta nebude stačit :)


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#4 26. 05. 2009 10:54

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Májové googlení

↑ Kondr: Můžeš být konkretnější o tom pozadí problému ? Začíná mě to zajímat,i když nepočítám s tím, že by ze mne vypadly nějaké
hlubší výsledky.

Offline

 

#5 26. 05. 2009 11:45

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Májové googlení

↑ Rumburak: Pozadí problému je takové, že asi před čtrnácti dny do Brna přiletěl Benjamin Steinberg a měl tu krátký cyklus přednášek "Groups generated by automata". Dá se toho o nich dost najít na webu, ale shrnu to: představme si konečný automat, který načítá z jedné pásky a s každým přechodem ze stavu do stavu zapíše jeden symbol na druhou pásku. Takový automat tedy z jedné nekonečné posloupnosti znaků vyrobí jinou. Automat s daným vstupním stavem je proto konečným popisem nějaké grupy permutací množiny nekonečných řetězců. Grupa generovaná automatem je grupa generovaná permutacemi, které odpovídají jednotlivým počátečním stavům. Dá se sestavit dvoustavový automat, který se pro jeden počáteční stav chová jako identita a pro druhý jako  přičítání jedničky k binárně zapsaným řetězcům (psaným naopak). Grupa, kterou generuje, je izomorfní se $\mathbb{Z}$. Každý automat nad n-prvkovou abecedou generuje podgrupu grupy T_n všech permutací na nekonečných řetězcích nad danou abecedou. Snadno rozmyslíme, že T_n je izomorfní s (T_n)^n (tedy T_n splňuje b) až na to konečné generování). Po chvilce hledání objevíme i automat, který generuje její dost velkou podgrupu na to, aby měla požadovanou vlastnost.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#6 27. 05. 2009 10:11 — Editoval Rumburak (28. 05. 2009 09:01)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8121
Reputace:   476 
 

Re: Májové googlení

↑ Kondr:
K úloze (b):

Krom toho, že nevím nic o automatech, mi není zcela jasná ani symbolika, ač pro znalce snad běžná.

1. Předpokládám správně, že ve struktuře $(G,\,\cdot)$ je pod $H^n$ míněno $H^n= \{ x \in G \, :\,\,\, \exists_{y \in G}\,(x = y^n)\}$ ?

2. Pokud ano, nemělo by se o grupě $(G,\,\cdot)$ předpokládat, že je komutativní, aby  $H^n$ byla její podgrupou (speciálně aby byla uzavřená na součin) ?

V případě, že odpověď  na první otázku je kladná, pak myslím, že ani úloha (b) není těžká :

G  -  Aditivní grupa celých čísel,
H = G ,

potom $H^n= \{ x \in G \, :\,\,\, \exists_{y \in G}\,(x = \sum_{i=1}^{n}\,y)\}$ , kde mohu  klást $\sum_{i=1}^{n}\,y = ny$ , takže $H^n$ je aditivní grupa celých čísel dělitelných číslem n,
která je opět jako v případě (a) podgrupou v G isomorfní s G.

Ale je možné, že jsem úplně vedle, obecnou algebru jsem už dlouho neviděl ...

EDIT 1. Přehlédl jsem podmínku, že H má být vlastní podgrupou.  Ale to  asi půjde snadno zařídit , když místo H = G položím
$H= \{ x \in G \, :\,\,\, \exists_{y \in G}\,(x = \sum_{i=1}^{2}\,y)\}$ , a tedy
$H^n= \{ x \in H \, :\,\,\, \exists_{y \in H}\,(x = \sum_{i=1}^{n}\,y)\}=\{ x \in G \, :\,\,\, \exists_{y \in G}\,(x = \sum_{i=1}^{2n}\,y)\}$.

EDIT 2.  K mé otázce 2:  Uvědomuji si, že grupa mající pouze jeden generátor, je komutativní.
Dále se domnívám, že a) všechy grupy s jedním generátotem, které nejsou cyklické, jsou isomorfní,
b) dvě grupy, z nichž každá je s jedním generátorem a cyklická, jsöu isomorfní právě tehdy, jsou-li téhož řádu.
Že cyklická grupa nemůže být isomorfní s necyklickou, je zřejmé.

Určitě jsem neobjevil Ameriku, jen si tak pro sebe opakuji a ujasňuji ...

Offline

 

#7 28. 05. 2009 11:05

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Májové googlení

↑ Rumburak:Máš pravdu, značení H^n není jednoznačné. Měl jsem na mysli  $H\times H\times \cdots \times H$,  s operací $\cdot $ prováděnou po složkách. Nicméně si sypu popel na hlavu, zadání jsem zmastil. Vycházel jsem ze svých poznámek z přednášky a v těch jsem vyrobil nějaký zmatek: T_n je opravdu izomorfni s (T_n)^n, ale nevím, kde jsem přišel na to, že by tuto vlastnost měly mít i nějaké její podgrupy. Ty určitě mají vlastnost popsanou v a) ale o b) začínám pochybovat.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson