Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 03. 2018 11:09

jakear
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: PŘF UJEP
Pozice: student
Reputace:   
 

Důkaz: lineární závislost

Prosím o nějakou radu s touto úlohou:
Nechť $\vec{u}$ a $\vec{v}$ jsou lineárně nezávislé vektory. Dokažte, že
$a\vec{u}$+$b\vec{v}$
a
$c\vec{u}$+$d\vec{v}$ jsou lineárně závislé právě tehdy, když determinant
|a b|
|c d| = 0
(Omlouvám se, neumím jej správně zapsat ve zdejším editoru.)

Nejprve jsem si zkusil vyjádřit jednotlivé složky těch dvou vektorů, které vznikly linearni kombinaci prvních dvou, následně jsem si ještě pomocí vztahu ad-bc=0 (determinant) vyjádřil skalár a a zkusil dosadit. Nijak mi to nepomohlo. Mohl by mi, prosím, někdo dát nějakou radu?
Předem děkuji.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jakear)

#2 14. 03. 2018 12:03

DominikBnP
Příspěvky: 93
Škola: FJFI ČVUT
Reputace:   
 

Re: Důkaz: lineární závislost

↑ jakear:

Zprava doleva:

Pokud je determinant matice s řádky (a,b) a (c,d) 0, pak jsou lineárně závislé také vektory (a,b) a (c,d) a existuje tedy takové nenulové číslo x, že (c,d) = x.(a,b), tedy c=x.a a současně d=x.b.


Potom vektor cu+dv = x.au+x.bv = x.(au+bv). Tedy vektor cu+dv je nenulovým násobkem vektoru au+bv a tyto jsou lineérně závislé.

Zleva doprava: Protože vektory au+bv a vektory cu+dv jsou lineérně závislé, existuje nenulové y takové, že y(au+bv) = cu+dv. Tedy yau + ybv = cu + dv. Lze tedy psát (ya-c)u + (yb-d)v = 0, a protože vektory u a v jsou lineárně nezávislé, tak ya-c=0 a yb-d=0. Tedy c = ya, d = yb. No a pak matice

a b  = a b
c d     ya yb   

a její determinant je 0.

Offline

 

#3 14. 03. 2018 12:33

jakear
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: PŘF UJEP
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkaz: lineární závislost

↑ DominikBnP:
Mockrát děkuji! :)

Offline

 

#4 05. 02. 2019 23:12

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Důkaz: lineární závislost

↑ DominikBnP:
Taky mne zajima to co zde pišete:

Pokud je determinant matice s řádky (a,b) a (c,d) 0, pak jsou lineárně závislé také vektory (a,b) a (c,d)

Prosim o dukaz pro determinant n. radu

Děkuji

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson