Matematické Fórum

No to mi moc nepomohlo. Můj dotaz je na to, z čeho vycházíte, tj.
proč detA = 0   => je kerA <> {}, respektive
proč kerA = {} => detA <> 0

↑ vanok:
det A je determinant matice A
tedy soucet soucinu n prvku matice nxn vybiranych vsemi moznymi zpusoby tak, aby v kazdy vyber pokryl vsechny radky i sloupce. Znamenko u soucinu je + pro sude a - pro liche permutace indexu radku ci sloupce.
Z toho vyplyva nulovost determinantu pro matice obsahujici linearni kombinaci radku (sloupcu).
Asi tomu bude i naopak, nulovost det A implikuje existenci linearni zavislosti, ale pro mne to neni zrejme a to mne trapi.

Mám několik učebnic Lineární Algebry, ale vysvětlení implikace, na kterou jsem se ptal, jsem nikde nenašel. Najde se tu někdo ochotný mi pomoci konkrétněji?

Dik, této konstrukci rozumím takto:

1) Upravou matice do RSF se nemeni jeji determinant, to je jasne.
2) Determinant RSF matice je roven soucinu prvku na hlavni diagonale
3) By-li determinant puvodni matice nulovy, musi byt na diagonale RSF alespon jedna nula ... V TOM JE VTIP DUKAZU
4) Takova RSF lze dale upravit tak, ze bude obsahovat nulovy radek
5) I tento nulovy radek vznikl prictenim linearni kombinace jinych radku, tim linearni zavislost dokazana.

Predchozi prispevky byly pro mne nesrozumitelné, protoze mi NEPRIPADALY
dost konkretni, nebo obsahovaly tvrzeni, ktera jsem nedovedl dokazat.
Ted uz ma moje duse klid, a dekuji vsem, co se mnou ztraceli cas.

↑ Pavel_J:

vidím že ešte je potrebné to okomentovať

najprv RSF pripomeniem, matica je v RSF tvare keď
a) žiadny nulový riadok nie je nad nenulovým riadkom
b) vedúci koeficient riadku (t.j. prvý nenulový prvok zľava) je striktne vpravo od každého vedúceho koeficientu riadkov vyššie
c) vedúci koeficient každého riadku je rovný 1
d) každý stĺpec v ktorom sa nachádza vedúci koeficient nejakého riadku obsahuje okrem neho už len nuly

matica nemusí byť štvorcová aby mala RSF, každá matica nad poľom toto vyjadrenie má a to je jednoznačné

prípad štvorcovej matice je špeciálny lebo buď je pre takúto maticu RSF jednotková matica, alebo aspoň posledný riadok je nulový

Pavel_J napsal(a):

Dik, této konstrukci rozumím takto:

1) Upravou matice do RSF se nemeni jeji determinant, to je jasne.

Pozor toto nie je pravda, matica má determinant rovný 2 ale jej RSF má determinant 1.
V tom prvom kroku je dôležité, že AK MÁ MATICA NULOVÝ DETERMINANT, potom jej RSF má nulový determinant,
elementárne riadkové operácie ktoré vedú k RSF vedia zmeniť determinant, ale efekt je obmedzený na násobenie konštantou, čo špeciálne pri neprinesie zmenu

Pavel_J napsal(a):

2) Determinant RSF matice je roven soucinu prvku na hlavni diagonale

... RSF štvorcovej matice ...

Pavel_J napsal(a):

3) By-li determinant puvodni matice nulovy, musi byt na diagonale RSF alespon jedna nula ... V TOM JE VTIP DUKAZU

v súlade s komentárom vyššie označenom hviezdičkou, toto nie je ťažké si rozmyslieť

Pavel_J napsal(a):

4) Takova RSF lze dale upravit tak, ze bude obsahovat nulovy radek
5) I tento nulovy radek vznikl prictenim linearni kombinace jinych radku, tim linearni zavislost dokazana.

Nie je dôvod upravovať ďalej, lebo RSF štvorcovej matice s nulovým determinantom už nulový riadok obsahuje,
keď si prejdeš komenty vyššie malo by to byť zrejmé

Cau ↑ Pavel_J:,

Ked budem mat cas to tu napisem ako sa to da robit.   

( iny priklad podobnej situacie: realne cisla mozme uviest
1)axiomaticky
2) vdaka Dedekind-ovym rezom
3) vdaka Cauchy-ovym postupnostiam a ich kompleciov ( Cantor)
Atd...’
No vsak v kazdom pripade musi me dokazat, ze pouzitie metody je ekvivalentne).