Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 13. 02. 2019 23:19 — Editoval Pavel_J (13. 02. 2019 23:44)

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Jasný pohled na vzorce pro objem a povrch koule

Odvození vzorce pro povrch koule pomocí metod integrálního počtu je logické, přímočaré, ale pro toho, kdo proniká do tajů matematiky, náročné.

Učit se vzorečky nazpaměť je také možné, mnozí žáci to tak dělají protože jim to učitelé předložili jako fakt. Je to praktické, ale je to stejně zajímavé jako memorování telefonního seznamu.

Chci zde představit dva vzorce, které mohou být užitečné pro pochopení jak je to s povrchem a objemem koule, resp. její části - a samy jdou snadno vysvětlit.

1) Velikost povrchu koule S je rovna velikost povrchu pláště válce, do kterého se koule právě vejde. Obvod válce je 2*Pi*R, Výška válce je 2*R, tudíž

S = 4*Pi*R^2

Náhoda? Nikoli. Má to jasnou souvislost, kterou srozumitelně dokážeme.

Pro každou malou plošku na povrchu koule, vymezenou rozmery dx, dy ve směru poledníků a rovnoběžek (póly na kouli jsou na ose válce) můžeme najít odpovídající plošku na plášti zmíněného válce pomocí Lambertova promítání (paprsky kolmými na osu koule resp. válce). Obraz zmíněné plošky na válci bude tedy mít rozměry dx1 = dx*Mx, dy1=My*dy, kde Mx a My jsou příslušná měřítka.

Velikost plošky na kouli bude dS = dx*dy
Velikost plošky na plášti válce bude dS1=dx1*dx1=(dx*dy)*(Mx*My), avšak

Mx = měřítko ve směru x (zemepisná délka) = 1 / cos(a) ...  prodlužování
My = měřítko ve směru y (zemepisná šířka)  =      cos(a) ... zkracování
(kde "a" je zeměpisná šířka plošky na kouli)

Měřítka Mx,My jsou reciproká, tudíž Mx*My=1, proto i dS=dS1 ... uvažované zobrazení bodů je "plochojevné". To, co platí pro malé plošky, platí i pro jejich součet tj, velikost povrchu koule a velikost povrchu pláště válce je shodná.

Obdobné vztahy platí pro části povrchu koule (tj. pro povrch kulovového vrchlíku, resp. kulového pásu výšky "v") a příslušnou část válce (část pláště téže výšky) omezeneho stejnou rovinou resp. rovinami.

Pak S = 2*Pi*R*v

2) Objem V koule resp. kulové výseče lze rozložit na malé objemy dV tvaru jehlanu se základnou dS a výškou R. Pak zřejmě platí dV = dS * R/3
To, co platí pro části, platí i pro jejich součet (vytknutím R/3), tedy
V = S * R/3
Pro kouli tedy platí
V = (4*Pi*R^2) * (R/3) = 4/3 * Pi * R^3

Myslím, že to může být přijatelné odvození vzorců, které už nemusí připadat tak záhadné.

Offline

 

#2 15. 02. 2019 12:39 — Editoval Rumburak (15. 02. 2019 13:08)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8576
Reputace:   496 
 

Re: Jasný pohled na vzorce pro objem a povrch koule

↑ Pavel_J:

Ahoj.

Ona logika ve vztahu mezi povrchem a objemem koule popsaná v bodě 2 je, myslím, celkem známa.
S úvahami uvedenými pod pod bodem 1 jsem se zatím nesetkal, určitě jsou zajímavé a přínosné.

Offline

 

#3 15. 02. 2019 15:08 — Editoval Pavel_J (15. 02. 2019 15:55)

Pavel_J
Příspěvky: 25
Škola: VUT Brno
Reputace:   
 

Re: Jasný pohled na vzorce pro objem a povrch koule

↑ Rumburak:
Ovsemže 2) nedělá díru do světa, ale s 1) se doplňuje. Proto jsem to uvedl.
Zbyvá doplnit, že vzorce jsem nevymyslel, inspiroval jsem se povídanim na YouTube, detaily nalezl v kartografickych textech o válcových promítáních. Doporučuji si přečíst.

Zejména zajímavé je Mercatorovo promítání (pro letecké a námořní mapy), to má obě měřítka shodná (daná protahováním poledníků) a proto je úhlojevné.  To pak umožňuje navigaci podle loxodrom (spirály konstantního azimutu), které se na těchto mapách jeví jako přímky. Je mi záhadou, jak na to Gerhard Mercator (1512-1594) přišel. Mám dojem, že v jeho době nebyl infinitezimální počet ještě vynalezen, jak tedy určil polohu bodu na mapě jako integrál (od 0 do a) měřítka (1/cos(u))du ?

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson