Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#326 26. 02. 2019 20:26

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Limitny maraton

Hi ↑↑ stuart clark:,
Problem (68).
Yes, obviously I used domino effect to find the first result.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#327 05. 03. 2019 09:01

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks vanok.

Offline

 

#328 06. 03. 2019 11:44

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

problem $(69)$ Evaluation of $\lim_{n\rightarrow \infty}\prod^{n}_{k=0}\frac{2n+2k+1}{2n+2k}$

Offline

 

#329 06. 03. 2019 12:32 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#330 06. 03. 2019 21:22

jardofpr
Příspěvky: 1146
Reputace:   77 
 

Re: Limitny maraton

ahoj ↑ krakonoš:

mne to pripadá že limita v poslednom riadku tvojho príspevku nebude nekonečno
zdá sa že platí $0<a_{n+1}<a_n$

Offline

 

#331 06. 03. 2019 22:47

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Limitny maraton

↑ jardofpr:
Ahoj.
Mas pravdu,kdyz jsem si zapsala radu jako 1/2 .(S2n-Sn-1) a pouzila Euler-Mascheroinovu konstantu,tak by to melo byt 1/2 . ln(2).Spletla jsem se a misto ln2n/n-1 jsem napsala ln2n.(n-1).
DIKY

Offline

 

#332 07. 03. 2019 16:04 — Editoval vanok (08. 03. 2019 13:31)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Limitny maraton

Problem (71). 
Evalujte
$\lim_{n\rightarrow \infty}\prod^{n}_{k=2}\frac{k^3-1}{k^3+1}$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#333 07. 03. 2019 20:09

laszky
Příspěvky: 1289
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Pozdravujem. Myslim, ze

Offline

 

#334 07. 03. 2019 20:23 — Editoval vanok (08. 03. 2019 08:37)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ laszky:,
Dobre riesenie.

Poznamka. 
Riesenie sa najde aj v odkaze  na #322 v http://forum.matematika.cz/viewtopic.ph … 74#p583174


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#335 08. 03. 2019 10:01 — Editoval krakonoš (08. 03. 2019 20:54)

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Limitny maraton

Problem(69)
$\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n}\frac{2n+2k+1}{2n+2k}=\lim_{n\to\infty }e^{log\prod_{k=0}^{n}\frac{2n+2k+1}{2n+2k}}$
$(\exists n_{0})(\forall n\ge n_{0})$
$log(\frac{2n+2k+1}{2n+2k})=log(1+\frac{1}{2n+2k})\approx \frac{1}{2n+2k}$
$\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2n+2k}=\frac{1}{2}(S_{2n}-S_{n-1})$
$\lim_{n\to\infty }(S_{2n}-log(2n))=\gamma $
$\lim_{n\to\infty }(S_{n-1}-log(n-1))=\gamma $
$\lim_{n\to\infty }(S_{2n}-S_{n-1}-log(2n)+log(n-1))=0$
$\lim_{n\to\infty }log(\frac{2n}{n-1})=log2$
$\lim_{n\to\infty }\prod_{k=0}^{n}\frac{2n+2k+1}{2n+2k}=e^{\frac{log2}{2}}=\sqrt{2}$

Offline

 

#336 09. 03. 2019 09:15 — Editoval stuart clark (09. 03. 2019 09:16)

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Thanks ↑ krakonoš:

My solution for $(69)$

Offline

 

#337 09. 03. 2019 09:18

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem $(70)$ Evaluate $\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{n^2}\cdot \sqrt{\binom{n+k}{2}}$

Offline

 

#338 10. 03. 2019 22:53

jardofpr
Příspěvky: 1146
Reputace:   77 
 

Re: Limitny maraton

hi ↑ stuart clark:

I believe this would work
(I assume you ask for limit as n goes to infinity)

Offline

 

#339 11. 03. 2019 01:19 — Editoval krakonoš (11. 03. 2019 13:36)

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Limitny maraton

Hi Stuart clark!
Problem(70)And what about this?🎁
$\lim_{n\to\infty }\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^{2}}\cdot \sqrt{\frac{(n+k)\cdot (n+k-1)}{2}=}$
$=\lim_{n\to\infty }\frac{1}{\sqrt{2}\cdot n^{2}}\cdot \sum_{k=1}^{n}\sqrt{(n+k)\cdot (n+k-1)}$
$\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(n+k-1)^{2}}\le \sum_{k=1}^{n}\sqrt{(n+k)\cdot (n+k-1)}\le \sum_{k=1}^{n}\sqrt{(n+k)^{2}}$
$\lim_{n\to\infty }\frac{n^{2}+\frac{n\cdot (n+1)}{2}-n}{\sqrt{2}\cdot n^{2}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{2}}$
$\lim_{n\to\infty }\frac{n^{2}+\frac{n\cdot (n+1)}{2}}{\sqrt{2}\cdot n^{2}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{2}}$

Offline

 

#340 13. 03. 2019 11:05 — Editoval stuart clark (13. 03. 2019 11:06)

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Offline

 

#341 13. 03. 2019 11:08

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem (71) Evaluation of $\sqrt[n^2+n]{\prod^{n}_{k=0}\binom{n}{k}}$

Offline

 

#342 13. 03. 2019 23:05

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Limitny maraton

↑ stuart clark:
Problem(71)
Hi Stuart Clark.
$\sqrt[n^{2+n}]{\prod_{k=0}^{n}}(^{n}_{k})=L$
$log L=\frac{1}{n\cdot (n+1)}\cdot \sum_{k=0}^{n}log(^{n}_{k})$
You can use Stolz - Cesaro theorem
$\lim_{n\to\infty }log L=$$\lim_{n\to\infty }\frac{\sum_{k=0}^{n}log\frac{(^{n+1}_{k})}{(^{n}_{k})}}{2\cdot (n+1)}=$$\lim_{n\to\infty }\sum_{k=0}^{n}log(\frac{n+1}{n+1-k})\cdot \frac{1}{2\cdot (n+1)}=$$\lim_{n\to\infty }-\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{n+1}\cdot log(1-\frac{k}{n+1})$
$\int_{0}^{1}log(1-x)dx=-1$
$\lim_{n\to\infty }log L=\frac{1}{2}$
$\lim_{n\to\infty }L=\sqrt{e}$

Offline

 

#343 14. 03. 2019 20:48 — Editoval vanok (14. 03. 2019 20:48)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Limitny maraton

Problem (72)
$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac 1{k^3(k+1)^3}=?$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#344 14. 03. 2019 22:48

laszky
Příspěvky: 1289
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: Limitny maraton

Offline

 

#345 14. 03. 2019 23:12 Příspěvek uživatele krakonoš byl skryt uživatelem krakonoš.

#346 15. 03. 2019 04:01 — Editoval vanok (15. 03. 2019 19:28)

vanok
Příspěvky: 13210
Reputace:   719 
 

Re: Limitny maraton

↑ laszky:,
Ahoj, mne sa  tam paci ta odpoved.

A pridam aj jedno citanie http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/pi10.pdf .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#347 15. 03. 2019 07:19 — Editoval krakonoš (15. 03. 2019 07:21)

krakonoš
Příspěvky: 342
Reputace:   14 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Problem(72)
Ahoj, posílám ještě jedno podobné řešení
S pomocí 6 parciálních zlomků lze zlomek$\frac{1}{k^{3}(1+k)^{3}}$ rorozdělit na části
$\frac{6}{k}-\frac{6}{k+1}-\frac{3}{k^{2}}-\frac{3}{(k+1)^{2}}+\frac{1}{k^{3}}-\frac{1}{(k+1)^{3}}$
$6\cdot \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=6+6\cdot \sum_{k=3}^{\infty }-\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}=6$( poslední řada má nulovou limitu možných částečných součtů)

$-3\cdot \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}=-3-6\cdot \sum_{k=2}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}=-3-6\cdot (\frac{\pi ^{2}}{6}-1)=3-\pi ^{2}$
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{3}}-\frac{1}{(k+1)^{3}}=1-\sum_{k=2}^{\infty }\frac{1}{k^{3}}-\frac{1}{(k+1)^{3}}=1$(poslední řada má rovněž nulovou limitu možných částečných součtů)
Součet zadané řady je tedy$10-\pi ^{2}$

Offline

 

#348 15. 03. 2019 10:53

stuart clark
Příspěvky: 887
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

Problem $(73)$ Evaluation of $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n}\int^{\frac{\pi}{4}}_{0}\cos^{2n-2}(x)dx$

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson