Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 23. 02. 2019 14:14

UNO
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

důkaz existence druhých mocnin

Zdravím.
Mám dokázat toto tvrzení: Necht je n přirozené číslo. Mezi čísly tvaru 6n+3 existuje nekonečně mnoho druhých mocnin přirozených čísel a mezi čísly tvaru 3n+2 není žádná druhá mocnina přirozeného čísla.

Na indukci to moc nevypadá, zkoušel jsem něco sporem, ale nic moc kloudného. Mohli byste mě prosím navést jak na to?

Děkuji moc.

Offline

 

#2 23. 02. 2019 14:34

Al1
Příspěvky: 7269
Reputace:   516 
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

↑ UNO:
Zdravím,

zkus si oba tvary čísel umocnit a upravit.

Offline

 

#3 24. 02. 2019 11:49

UNO
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

A jak s tím tenhle úkon souvisí, když těmi druhými mocninami mají být přímo čísla 6n+3 nebo 3n+2? (nebo jsem to špatně pochopil?)

Udělat to můžu:
$(6n+3)^{2}=36n^{2}+36n+9 = 9(4n^{2}+4n+1)=9(2n+1)^{2}$
$(3n+2)^{2}=9n^{2}+12n+4 $

Bohužel, stále v tom nic nevidím. Můžete mě ještě navést?

Offline

 

#4 24. 02. 2019 12:50

laszky
Příspěvky: 1289
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

↑ UNO:

Ahoj. $36n^{2}+36n+9 = 6(6n^2+6n+1)+3$.

A taky plati

$(3n+2)^{2}= 3k_1+1$
$(3n+1)^{2}= 3k_2+1$
$(3n)^{2}= 3k_3$

Offline

 

#5 15. 03. 2019 14:22

UNO
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

S odstupem času jsem se na to podíval a pochopil, proč pro (6n+3) existuje nekonečně mnoho druhých mocnin.
Libovolnou druhou mocninu 6n+3 lze zapsat v analogickém tvaru 6k+3, kde k je přirozené číslo.

Nelze tomu tak v případě 3n+2,
$(3n+2)^{2}=9n^{2} +12n+4=3(3n^{2}+4n)+4$

Tedy druhá mocnina čísla 3n+2 již není ve tvaru 3k+2, kde by k bylo přirození číslo. Jak ale dokázat dál, že mezi 3n+2 skutečně nejsou žádné druhé mocniny? Z těch rad jsem to bohužel nepochopil.

Děkuju.

Offline

 

#6 15. 03. 2019 15:01 — Editoval laszky (15. 03. 2019 15:02)

laszky
Příspěvky: 1289
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

↑ UNO:

Ahoj, libovolne prirozene cislo lze zapsat v jednom ze tri tvaru: $3n+2$, $3n+1$ a $3n$, kde $n\in\mathbb{N}$.

Druhe mocniny techto cisel jsou pak

$(3n+2)^{2}= 9n^2+12n +4 = 3(3n^2+4n+1)+1 = 3k_1+1$
$(3n+1)^{2}=  9n^2+6n +1 = 3(3n^2+2n)+1 = 3k_2+1$
$(3n)^{2}= 9n^2 = 3(3n^2) = 3k_3$

Zadny z uvedenych tvaru druhych mocnin prirozenych cisel tedy neni $3k+2$.

Offline

 

#7 15. 03. 2019 17:31

UNO
Zelenáč
Příspěvky: 17
Reputace:   
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

Děkuju moc. Už v tom mám jasno.

Offline

 

#8 16. 03. 2019 10:56

check_drummer
Příspěvky: 2636
Reputace:   72 
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

↑ UNO:
Ahoj, už je to asi vyřešeno, ale v tomto svém příspěvku jsi ta čísla umocňoval na druhou a ty máš namísto toho zkoumat, zda ony samy jsou druhé mocniny.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

#9 17. 03. 2019 10:53

jarrro
Příspěvky: 4947
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

↑ check_drummer:Ahoj. Ale pre každé prirodzené $k$ je
$\(6k+3\)^2=6n+3$ kde $n=6k^2+6k+1$
Teda z toho vyplýva, že medzi číslami tvaru $6n+3$ je nekonečne mocnín (stačí brať $n$ v tvare $n=6k^2+6k+1$ a takých n je zrejme nekonečne veľa)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#10 18. 03. 2019 00:05

check_drummer
Příspěvky: 2636
Reputace:   72 
 

Re: důkaz existence druhých mocnin

↑ jarrro:
To ano, jen nebyla zřejmá motivace, proč ta čísla umocnit.


Definujme pojem "definice" jen pomocí předem definovaných pojmů.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson