Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 04. 11. 2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17. 01. 2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17. 01. 2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23. 10. 2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 02. 2010 11:38 — Editoval Olin (09. 02. 2010 21:49)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Hvězdy v rovině

Nechť je v obvyklé rovině $\mathbb{R}^2$ rozmístěno libovolné množství následujících libovolně velkých hvězd:
http://forum.matweb.cz/upload/1265711439-hvezda.png
("hvězda" jsou tři různé stejně dlouhé úsečky s jedním společným koncovým bodem, které po dvou svírají úhel $\frac 23 \pi$). Nejsou ovšem vůči sobě libovolně natočeny, každé dvě hvězdy mají rovnoběžné a stejně orientované "cípy" (tj. existuje stejnolehlost s kladným koeficientem, která zobrazí jednu na druhou). Navíc se žádné dvě hvězdy neprotínají (jsou disjunktní).

Dokažte, že za těchto podmínek může být v rovině rozmístěno nanejvýš spočetně mnoho těchto hvězd.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Olin)

#2 10. 02. 2010 22:09

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

Pěkné :) Moc nevím, k čemu je to stejné natočení...


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#3 10. 02. 2010 22:25

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ Kondr:
Já to vlastně taky nevím, ale zprostředkovaně se ke mně úloha dostala s tímto zadáním. Třeba aspoň pro zmatení nepřítele. Jinak úlohu jsem po několika měsících přemýšlení vyřešil podobnou úvahou.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#4 10. 02. 2010 22:57

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 992
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ Kondr:V zadání není řečeno, že cípy jsou stejně dlouhé. Kolem každé hvězdy bych mohl umístit tři menší, řekněme o délce cípu 1/10 předchozí. Najednou se mi jich v duhé úrovni vyrojí devět, ve třetí 27. Vždy budu umět přidat další hvězdy přidat.
Bude uvedený argument fungovat?

Offline

 

#5 10. 02. 2010 23:05 — Editoval Olin (10. 02. 2010 23:16)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ petrkovar:
Je to tam řečeno,

Olin napsal(a):

"hvězda" jsou tři různé stejně dlouhé úsečky s jedním společným koncovým bodem

Mimochodem, asi by to fungovalo i s těmi různými délkami, prostě bychom


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#6 11. 02. 2010 00:02

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

A potřebujeme vůbec, aby každý úhel byl $2\pi/3$ (bude-li nenulový? Nestačilo by, aby každé dvě hvězdy byly stejné až na otočení, posunutí a zkrácení ramen?


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#7 11. 02. 2010 16:04 — Editoval petrkovar (11. 02. 2010 16:07)

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 992
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ Olin:Já jsem to pochopil tak, že každá hvězda má tři ramena stejné délky, ale každé dvě hvězdy mohou mít tuto délku různou. To mi pak poznámka o stejnolehlosti přijde spíš zavádějící.

Offline

 

#8 11. 02. 2010 16:49

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ petrkovar: Takto jsem to pochopil i já a k takovémuto zadání se vztahuje mé řešení. Kdybychom měli všechny hvězdy stejně velké, nebylo by třeba je dělit do tříd podle magnitudy.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#9 11. 02. 2010 20:45

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 992
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ Kondr:A když ke každé hvězdě s délkou cipu c budou existovat tři menší o délce cípu c/10 (podobně jako u fraktálů přidáváme části), tak magnituda neexistuje.

Offline

 

#10 11. 02. 2010 21:12

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4237
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   37 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ petrkovar: Nevím, jestli jsem si nějak nenaběhl se slovem magnituda, ale tak jak jsem ho zamýšlel (převrácená hodnota délky cípu zaokrouhlená nahoru) musí mít každá hvězda magnitudu. Pak jen tvrdím, že hvězd pevně zvolené magnitudy je jen spočetně (a to stačí, protože různých magnitud je spočetně).


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#11 11. 02. 2010 21:31

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Hvězdy v rovině

Zadání jste pochopili oba správně. Samozřejmě mohou mít různé hvězdy různé velikosti, na to se nekladou žádná omezení. Pokud by byly všechny stejně velké, byla by úloha o dost snazší.

Vnitřní úhly asi taky nemusí být nutně ty zadané. Zajímavější už je ovšem, když připustíme, aby se hvězdy mohly lišit i v těchto úhlech…


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#12 11. 02. 2010 22:08 — Editoval petrkovar (11. 02. 2010 22:09)

petrkovar
Moderátor
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 992
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Hvězdy v rovině

↑ Olin:Myslím, že toto říká, že ani různé úhly nezabrání v konečném důsledku tomu, aby hvězd bylo jen spočetně mnoho. Taky bych řekl, že požadavek na stejné úhly a stejné "otočení" umožní použít nějaké "pěkné pozorování", které povede snadno k požadovanému výsledku.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson