Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 08. 2018 17:25 — Editoval OndraD (21. 08. 2018 17:33)

OndraD
Příspěvky: 59
Reputace:   -3 
 

Oblouk nad n-tou mocninou

Ahoj,

k tomuhle špeku mě přivedlo skutečně dokazování Fermatovy věty a proto dlouhý příběh krátce.

Pro druhou mocninu platí Pythagorova věta a Thaletova věta, součty druhých mocnin A a B kreslí kružnici.

Třetí a vyšší mocniny vykreslují rovněž křivku, která se však protahuje do výšky a má svůj limit pro n v podobě rovnostranného trojúhelníku o délce strany C. edit: pardon, v podobě gotického oblouku

//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-08/64869_pythn.jpg

Úloha: Spočítej konstantu, která definuje oblouk nad C pro celá n větší (a necelá menší) než 2. Je to určitá posloupnost, která pro n=2 začíná u Pi  a pro limitní n = 4/3Pi. Každému n přináleží nějaká konkrétní hodnota této posloupnosti, konstanta podobná π, která vyjadřuje délku oblouku opsaného trojúhelníky se stranami A,B,C pro n větší než 2.

Přiznávám bez mučení, že nejsem matematik a sám to spočítat nedovedu, vím jen, že se to řeší pomocí Newtonovy metody.

Dávám to sem pro zajímavost a možná inspiraci k nějaké další matematické práci. Ty konstanty pro vyšší mocniny jsou ve stejném vztahu jako Pi a druhá mocnina.

Offline

 

#2 21. 08. 2018 22:05

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29831
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Zdravím,

proto dlouhý příběh krátce.

bohužel, je to až příliš zkracováno.

Pro druhou mocninu platí Pythagorova věta a Thaletova věta, součty druhých mocnin A a B kreslí kružnici.

uvedené věty platí pro pravoúhlý trojúhelník, nikoliv "pro druhou mocninu", kružnici kreslíme kružítkem, nebo jiným nástrojem, nikoliv součtem druhých mocnin.

vyjadřuje délku oblouku opsaného trojúhelníky

pojem "oblouk" má více významů, ovšem žádný z nich mi nesedí na definici "oblouku opsaného trojúhelníku".

Doporučuji při formulaci úlohy překontrolovat používané pojmy s seriózním zdrojem, popř. pokud jsi zavedl vlastní definice, vypisuj, prosím, přímo do textu příspěvku. Téma přesouvám do Ostatního a děkuji za pochopení.

Offline

 

#3 21. 08. 2018 22:35

OndraD
Příspěvky: 59
Reputace:   -3 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Pravoúhlý trojúhelník je geometrické znázornění Pythagorovy věty, což je "Fermatova věta pro druhou mocninu", kružnice anebo půlkruh opisuje pravoúhlý trojúhelník při různé délce stran. Když se do Pythagorovy věty dosadí n=3 a víc, tak trojúhelníky začnou opisovat takovou těžko definovatelnou elipsu viz obrázek, a neví se, jak je ta elipsa dlouhá, protože na to není jednoduchá rovnice, jen iterace pomocí té Newtonovy metody.

Offline

 

#4 21. 08. 2018 22:44

OndraD
Příspěvky: 59
Reputace:   -3 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Vlastně, omluva, omlouvám se, ta Newtonova metoda se používá pro výpočet n pro libovolná ABC. Zvolíme si nějakou celočíselnou kombinaci A,B a C, a Newtonova metoda vypočítá n. Jak se vypočítá délka té elipsy ale stejně nevím, je to nějaký integrál. Jenže není statický, po celé délce je dynamický a navíc nelineární.

Offline

 

#5 21. 08. 2018 23:10

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29831
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Děkuji, já se obávám, že Tvé formulace daleko přesahuji nejen mé skromné znalosti odpovídající technické VŠ, ale i znalostí kolegů vzdělaných v matematických oborech (nechám se však překvapit).

Pravoúhlý trojúhelník je geometrické znázornění Pythagorovy věty

geometrickým znázorněním Pythagorovy věty jsou čtverce sestrojené nad stranami trojúhelníku. 

Když se do Pythagorovy věty dosadí n=3 a víc, tak trojúhelníky začnou opisovat

pokud mám trojúhelník ABC (pravoúhlý, se stranami a, b, c), tak dosazením do Pythagorovy věty n=3 trojúhelník nezměním, ani nedonutím ho něco opisovat. V geometrickém smyslu by šlo o objemy krychlí se délkou hrany po řáde a, b, c. Elipsy v tom nevidím.

je to nějaký integrál. Jenže není statický, po celé délce je dynamický a navíc nelineární.

nezáviděníhodná situace.


Nakresli, prosím, obrázek pro konkrétní hodnoty stran trojúhelníků (a, b, c) a pro n=3, třeba se ujasní, co chceš hledat. Děkuji a zdary.

Offline

 

#6 21. 08. 2018 23:25 — Editoval OndraD (22. 08. 2018 11:13)

OndraD
Příspěvky: 59
Reputace:   -3 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Vysvětluje se to nesnadno, ale logiku to má. Ty oranžové linky vykreslují všechna možná řešení, všechny možné vrcholy trojúhelníku pro dannou mocninu.


a=3, b=4, c=5
n=2
25-16=9

pro n=3
a=? b=4, c=5
125-64=61
a=$\sqrt[3]{61}$ = 3,9364

//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-08/88328_trojj.jpg

Offline

 

#7 22. 08. 2018 10:11

jarrro
Příspěvky: 4956
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Asi začínam chápať. ↑ OndraD:. Je tá krivka taká, že pre danú úsečku $AB$ dĺžky $c$ a dané $n$, každý bod X z tej krivky má vlastnosť
$\left|XA\right|^n+\left|XB\right|^n=c^n$.
Je to tak?
Chápem to správne?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#8 22. 08. 2018 10:27

OndraD
Příspěvky: 59
Reputace:   -3 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Vezmi si nějaké c a nějaké menší b, od c na n-tou odečti b na n-tou, výsledek odmocni n-tou odmocninou a výjde ti a. Z těchto hodnot sestroj trojúhelník nad základnou c. Když to uděláš pro všechna b v intervalu 0 až c, vrcholy výsledných trojúhelníků vykreslí křivku (na obrázku oranžově), čím vyšší n, tím výše stoupající křivka. Pro n=2 je ta křivka půlkruh.

Offline

 

#9 22. 08. 2018 10:51

jarrro
Příspěvky: 4956
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   281 
Web
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

↑ OndraD:veď to som napísal ↑ jarrro:
potom tá krivka má rovnicu (v súradnicovom systéme danom stredom základne a jej osou)
$\(\(x+\frac{c}{2}\)^2+y^2\)^{\frac{n}{2}}+\(\(x-\frac{c}{2}\)^2+y^2\)^{\frac{n}{2}}=c^n$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#10 22. 08. 2018 10:55

OndraD
Příspěvky: 59
Reputace:   -3 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Budu ti muset věřit.

Offline

 

#11 22. 08. 2018 23:07

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 29831
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   89 
 

Re: Oblouk nad n-tou mocninou

Zdravím,

↑ jarrro: děkuji za rozluštění požadavku kolegy.

↑ OndraD: nemáž, prosím, příspěvky, na které již někdo reagoval viz pravidla. Pokud příspěvek může obsahovat nesprávnou, nebo jinak matoucí informaci, ale je již k němu přidána reakce, text lze schovat do "hide" (viz tlačítko pod oknem zprávy) s komentářem, proč je taková úprava. Zůstane však přístupný k přečtení.

Příspěvky tohoto a vedlejšího tématu jsem obnovila. Děkuji za pochopení.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson