Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 25. 11. 2018 10:52

Andrejka3
Moderátor
Příspěvky: 1992
Škola: PŘF UP Olomouc (2015)
Reputace:   119 
 

Kružnice valící se po kružnici

Ahoj.
Uvažujme malý kruh, který se valí po vnitřním obvodu většího kruhu. V malém kruhu je bod, jehož trajektorii sledujeme.
//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/37909_kpok1.png
Přitom stačí uvažovat R a r přirozená a nesoudělná a d menší než r.

Když $r>R/2$ a $d>R-r$, začnou se tvořit "smyčky" navazující hrana (křivka mezi dvěma parametricky sousedními maximy) se protne s následující hranou. Jako například zde
//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/38191_kpok2.png
kde R=7, r=5 a d=3.

Zajímá mě úhlová šířka smyčky -- nejmenší středový úhel, který smyčku obsahuje. To protože chci charakterizovat situace, kdy se dvě smyčky protnou navzájem, například zde
//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/38577_kpok3.png
R=7, r=5 a d=2.1

Snažila jsem se využít parametrizaci přes orientovaný středový úhel $\psi$, který urazil střed malé kružnice kolem středu velké.
$\gamma (\psi)=(R-r)\cdot \begin{pmatrix}
\cos \psi \\
\sin \psi
\end{pmatrix} +d\cdot \begin{pmatrix}
\cos \frac{r-R}{r}\psi \\
\sin \frac{r-R}{r}\psi
\end{pmatrix}\;,\quad \psi \in \left(0, 2\pi r \right)\;.$
která plyne z obrázku:
//forum.matematika.cz/upload3/img/2018-11/38876_kpok4.png

Ale dostala jsem se k rovnici $\det (\gamma, \gamma')=0$ -- odpovídá bodu na okraji smyčky.
$\det(\gamma,\gamma')=(R-r)^2-\frac{R-r}{r}d^2+(R-r)d\left(2-\frac{R}{r}\right)\cos\frac{R}{r}\psi$

a rovná se nule, když
$(R-r)r-d^2+d\left(2r-R\right)\cos\frac{R}{r}\psi=0$
Pro dané R, r a d teoreticky lze vypočítat středový úhel tohoto bodu  a z toho pak stanovit podmínku, kdy se dvě smyčky protnou. Ale vede mi to na složité goniometrické rovnice, přes které se už nedostanu.

Děkuji za rady (byla bych radši za něco jiného než odkaz, protože se to snažím jinak řešit ve vakuu :) )


What does a drowning number theorist say?
'log log log log ...'

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Andrejka3)

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson