Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 02. 03. 2019 10:34

stuart clark
Příspěvky: 934
Reputace:   
 

nested summation with integration

Finding $\int \frac{1}{x}\prod^{\infty}_{i=1}\bigg(1-\tan^2 \frac{x}{2^i}\bigg)dx\cdot \frac{1}{\ln\bigg(\sum^{\infty}_{\alpha =1}\bigg[\int^{\infty}_{0}\frac{x^{\alpha-1}\cdot e^{-\frac{1}{n}}}{n\cdot ((\alpha-1)!)^2}dx\bigg]\bigg)}$

Offline

 

#2 Dnes 02:44

laszky
Příspěvky: 1365
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   105 
 

Re: nested summation with integration

↑ stuart clark:

Hi.

Is the first integral definite or indefinite?
Is $n$ a parameter, or is it just a missprint?

For the first integral I found, that since there holds
$1-\tan^2\frac{x}{2^i} = \frac{\cos^2\frac{x}{2^i}-\sin^2\frac{x}{2^i}}{\cos^2\frac{x}{2^i}} = \frac{\cos\frac{x}{2^{i-1}}}{\cos^2\frac{x}{2^i}}$,

we have
$\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\tan^2\frac{x}{2^i}\right) = \prod_{i=1}^{\infty}\frac{\cos\frac{x}{2^{i-1}}}{\cos^2\frac{x}{2^i}} = \frac{\cos x}{\prod_{i=1}^{\infty}\cos\frac{x}{2^i}} = \frac{x\cos x}{\sin x}$

and hence
$\int\frac{1}{x}\prod_{i=1}^{\infty}\left(1-\tan^2\frac{x}{2^i}\right)\,\mathrm{d}x = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,\mathrm{d}x = \ln|\sin x| + C$

Offline

 

#3 Dnes 11:13

stuart clark
Příspěvky: 934
Reputace:   
 

Re: nested summation with integration

Thanks Laszky actually it is given by someone to me and i also seems that it is wrong.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson