Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 03. 2019 23:06 — Editoval matge (05. 03. 2019 23:08)

matge
Příspěvky: 29
Reputace:   
 

Délka křivky vodorovného vrhu

Zdravím, mám určit délku křivky vodorovného vrhu přes integrál, avšak nevím si s ním rady. Je zadán parametricky

$x=v_{0}t$
$y=h-{\frac{1}{2}}gt^{2}$

s tím, že dopadne do vzdálenosti h, tedy meze jsou <0, h>

vím, že pro délku křivky platí

$\int_{\alpha}^{\beta} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$

Stačí mi toto pouze zderivovat a dosadit? Derivuji to podle t. Nebo je nutno to převést na polární souřadnice? To ovšem nevím jak.

Díky

Offline

 

#2 05. 03. 2019 23:25

laszky
Příspěvky: 1292
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   97 
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ matge:

Akorat, pokud je x-ova vzdalenost h, je nutne zvolit $\alpha=0$, $\beta=\frac{h}{v_0}$.

Online

 

#3 05. 03. 2019 23:43

matge
Příspěvky: 29
Reputace:   
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ laszky:

A proc? Z jakeho duvodu? Jinak by byl navrzeny postup ok? DIKY

Offline

 

#4 06. 03. 2019 07:24

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 11799
Reputace:   870 
Web
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ matge:
Protože $\alpha$ a $\beta$ jsou časy. Tj. $\alpha$ je čas v okamžiku startu a $\beta$ v okamžiku dopadu. A start je v čases "nula" a dopad (podle vztahu $t=\frac sv$) ti dá ↑ laszky:ho vztah.


Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#5 06. 03. 2019 11:00

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8577
Reputace:   496 
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ matge:

Ahoj. Jen doplňující poznámka:

U integrálů - zejména ve fyzice - je v zájmu přehlednosti výhodné specifikovat integrační proměnnou.
V této úloze se integruje podle časové proměnné (protože rychlost v okamžiku $t$ je derivací délky
"již vykonané" dráhy podle času, takže celková délka dráhy je - stručně řečeno - integrálem rychlosti
podle času). Časovou proměnnou obvykle značíme symbolem $t$, tudíž příslušný integrál zapíšeme
ve  tvaru

                                 $\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x')^2 + (y')^2}  \text{d}t$ .

Offline

 

#6 06. 03. 2019 11:38

matge
Příspěvky: 29
Reputace:   
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ Rumburak:
Díky,
tak když zderivuji a dosadím, potom v integrálu mě to vede na substituci. Tam ale nevím co vysubstituovat, protože ani jedna strana mě nikam nevede

$\int_{0}^{\frac{h}{v_0}}\sqrt{v_0^2 +g^2t^2} dt$

Offline

 

#7 06. 03. 2019 12:52

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8577
Reputace:   496 
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ matge:

Tento integrál  je sestaven správně. K jeho výpočtu lze (po vhodné úpravě) použít jednu z "hyperbolických"
substitucí - pomocí vztahu $\cosh u  = \sqrt{1 + \sinh^2 u}$. (Funkce sinh , cosh se nazývají  hyperbolický sinus,
hyperbolický kosinus -  zkus se na ně zaměřit, základní vlastnosti by měly stačit. )

Offline

 

#8 06. 03. 2019 13:20

matge
Příspěvky: 29
Reputace:   
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ Rumburak:

Díky za radu, ale nemůžu přijít na to, jak to vhodně upravit a aplikovat. S hyperbolickými funkcemi jsem se prakticky nikdy nesetkal.

Offline

 

#9 06. 03. 2019 14:20 — Editoval Honzc (06. 03. 2019 14:25)

Honzc
Příspěvky: 3868
Reputace:   214 
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ matge:
Parametrické rovnice opravdu odpovídají vodorovnému vrhu. Ovšem ty píšeš, že h je vzdálenost dopadu, ale normálně je to výška nad povrchem odkud se vrh provádí. (čemuž odpovídá i rovnice pro y(t))
Pokud si se spletl a je to opravdu výška, pak meze integrálu budou $\alpha= 0,\beta =\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Nápověda:
$\int_{}^{}\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^{2}+x^{2}}+a^{2}\ln |x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}|)$
Např. pro v0=10 ms-1,g=10 ms-2,h=5 m vyjde délka 11.478 m jak výpočtem, tak i modelováním.

Offline

 

#10 06. 03. 2019 14:37 — Editoval Rumburak (08. 03. 2019 15:10)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8577
Reputace:   496 
 

Re: Délka křivky vodorovného vrhu

↑ matge:

Pro libovolné komplexní číslo $x$ značíme

$\sinh x = \frac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2}$ ,   $\cosh x  = \frac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}$.

Nás u této úlohy samozřejmě zajímají jen $x$ reálná.

Snadno nahlédneme, že v libovolném bodě $x$  platí vztahy

                             $\cosh^2 x  - \sinh^2 x  = 1$   ,

                   $(\sinh x)' = \cosh x$  ,   $(\cosh x)' = \sinh x$ ,

které se Ti pro vhodnou úpravu integrandu a nalezení vhodné substituce pomocí těchto funkcí budou hodit.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson