Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 03. 2019 17:42 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 17:44)

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Spojitost zobrazení

Dobrý den,

chtěl bych se zeptat, kdybych chtěl ukázat, že zobrazení $T:C^{1}[0,1] ->C[0,1]$ def. jako T(f)=derivace f není spojité v nule pomocí definice spojitosti přes okolí, tj bych chtěl najít nějakou funkci z okolí $f$ , že $T(f) $ neleží v okolí funkce derivace f, kde okolím funkce $f$ myslím okolí $f(x)+\varepsilon $ a $f(x)-\varepsilon $. Jak bych takovou konkrétní funkci mohl najít?


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Flaky)

#2 31. 03. 2019 18:12

Bati
Příspěvky: 2176
Reputace:   169 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky:
A proc je to podle tebe nespojity?

Offline

 

#3 31. 03. 2019 18:41 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 18:41)

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

No, nejdříve jsem chtěl ukazovat spojitost, nicméně mi bylo řečeno, že je nespojitý, tak jsem chtěl zkusit nespojitost v nule.


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#4 31. 03. 2019 21:17

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Spojitost zobrazení

ahojte

↑ Flaky:

nepíšeš s akou normou/metrikou pracuješ na daných priestoroch,
čo by mala byť súčasť zadania

stáva sa že od toho závisí odpoveď, čo verím je aj tento prípad

Offline

 

#5 31. 03. 2019 21:58 — Editoval Flaky (31. 03. 2019 22:03)

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

Bohužel, žádná norma mi zadána nebyla. Právě proto jsem chtěl využít definice spojitosti.


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#6 31. 03. 2019 22:35 — Editoval jardofpr (01. 04. 2019 00:51)

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Spojitost zobrazení

Flaky napsal(a):

Bohužel, žádná norma mi zadána nebyla. Právě proto jsem chtěl využít definice spojitosti.

no nepôjde to podľa mňa bez normy (alebo predstave o topológii priestorov čo hádam nie je hľadisko tvojho cvičenia)

v pôvodnom príspevku píšeš vágne o okolí  .. t.j. buď máš aspoň normu alebo nejak definované otvorené množiny

nemáte niečo také že ak sa nepovie inak beriete nejakú konkrétnu normu?

my sme mali kedysi ak si dobre spomínam napr. na $C^k[a,b]$  priestore  $||f ||_{C^k} = \sum_{i=0}^k\sup_{x\in [a,b]}|f^{(i)}(x)|$

a tú sme brali automaticky ak nebolo uvedené inak

to by znamenalo spojité zobrazenie v tomto prípade, ale nemusí to byť tak ak pracuješ s inými normami

Offline

 

#7 01. 04. 2019 08:03

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ jardofpr: No, spojitost jako takovou na top. vektorových prostorech máme definovanou, právě proto bych toho chtěl využít.


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#8 01. 04. 2019 11:26

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky: to je síce fajn že to máte definované,

ale keby si chcel toto overovať z definície spojitosti na TP tak mi to príde že musíš tiež vedieť
s akým systémom otvorených množín pracuješ na daných priestoroch

čo mimochodom tuším že keď tak nebude žiadna sranda

určite si napísal celé zadanie?

Offline

 

#9 01. 04. 2019 16:37

Bati
Příspěvky: 2176
Reputace:   169 
 

Re: Spojitost zobrazení

Presne tak.. Aby slo mluvit o spojitosti T, je treba znat topologii na X a Y. Navic, co se tyce mnozin C a C1, myslim ze jsem nikdy nevidel "rozumnou" topologii, ktera by nebyla zadana nejakou normou a v tom pripade se s temi okolimi da pracovat v podstate stejne jako v Euklidovskem prostoru. O trochu zajimavejsi to je teprve s $C^{\infty}$.

Offline

 

#10 01. 04. 2019 19:34

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ jardofpr:

Ano, určitě jsem napsal celé zadání.


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#11 01. 04. 2019 20:55

jardofpr
Příspěvky: 1154
Reputace:   78 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky:

tak potom mi to príde že nie je úplné alebo implicitne uvažujete konkrétnu štruktúru na daných priestoroch

Offline

 

#12 15. 04. 2019 04:23

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

A jak by situace vypadala, kdybych uvážil klasické supremové normy na obou prostorech?


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#13 15. 04. 2019 07:20

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky:  V takom prípade by spojitosť v nulovej funkcii znamenalo, že ak je funkcia blízko nuly, tak má aj malú deriváciu. Zrejme nebudeš mať problém nájsť príklad, že to tak nemusí byť.

Offline

 

#14 16. 04. 2019 00:56

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ vlado_bb:

Co je myšleno tím, že je funkce blízko nuly?


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#15 16. 04. 2019 06:00

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky: Mam na mysli vzdialenost od nulovej funkcie v supremovej metrike, tu, o ktorej sa hovori v definicii spojitosti.

Offline

 

#16 16. 04. 2019 06:59 — Editoval Flaky (16. 04. 2019 07:03)

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ vlado_bb:

Tj toto ?

$\forall \varepsilon >0\exists \delta >0:\parallel f\parallel_{C^{1}} \le \delta \Rightarrow \parallel f^{(1)}\parallel_{C} \le \varepsilon $


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#17 16. 04. 2019 07:30

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky: Ano, toto. Podla toho, co pises v ↑ Flaky:, budu obe normy supremove.

Offline

 

#18 16. 04. 2019 08:15

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

Takze hledám funkci, pro kterou nebude tato implikace platit, přičemž tedy $\parallel f\parallel _{C^{1}} =sup|f^{(1)}(x)| $ a $\parallel f\parallel _{C}=sup|f(x)|$ , kde $x\in [0,1]$ ano?


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#19 16. 04. 2019 09:57

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky: Ano, presne tak. Teda - cielom je ukazat, ze pre (napriklad) $\varepsilon = 1$ nie je mozne najst vhodne $\delta$. K tomu staci ukazat ze existuje funkcia lubovolne blizka nule s pomerne velkou derivaciou ... ale to sa uz opakujem.

Offline

 

#20 16. 04. 2019 13:09

Flaky
Příspěvky: 235
Škola: MFF UK, MU SLU
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ vlado_bb:

Hm, kdybych si vzal ln(x), pak na <0,1> je supremum ln(1)<1, , ale 1/x na <0,1> má sup neomezené..


The only way to learn mathematics is to do mathematics.

                     - Paul Halmos -

Offline

 

#21 16. 04. 2019 13:25

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky:Pozri lepsie, co som napisal. Navyse, $\ln x$ nie je funkcia definovana na $[0,1]$.

Offline

 

#22 16. 04. 2019 13:46

Bati
Příspěvky: 2176
Reputace:   169 
 

Re: Spojitost zobrazení

Panove, prijde mi, ze to tu hrozne motate. Tohle
$\parallel f\parallel _{C^{1}} =sup|f^{(1)}(x)| $
neni ani norma (kvuli konstatnim funkcim). Kdyz uz tak
$\parallel f\parallel _{C^{1}} =sup|f^{(1)}(x)| +sup|f(x)|$,
ale v tom pripade plyne okamzite z definic ze operator derivace je spojity z C1 do C. Pokud v prostoru C1 vezmu jenom supremovou normu, tj. stejnou normu jako v C, spojitost evidentne neplati kvuli ↑ vlado_bb:

Offline

 

#23 16. 04. 2019 13:56

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Bati:Ano, ja som to (podla poslednej informacie zadavatela) chapal ako zobrazenie v priestore vsetkych ohranicenych spojitych funkcii na $[0,1]$ so supremovou metrikou.

Offline

 

#24 16. 04. 2019 14:16 — Editoval Rumburak (17. 04. 2019 10:27)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8617
Reputace:   497 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Flaky:

Jen rozvedu nápovědu kolegy ↑ vlado_bb:

EDIT.
Zkoumej funkci  $f(x) = \frac {\sin n^2 x}{n}$  pro různá $n \ne 0$.

Offline

 

#25 16. 04. 2019 15:02

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Spojitost zobrazení

↑ Rumburak: Len upresnim - nejde o napovedu, ale uplne riesenie. Nevadi, verim ze zadavatel bude moct prezit radost z uspechu pri rieseni inych problemov. Chcel som mu to umoznit, nic viac.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson