Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 04. 2019 17:14 — Editoval Tari (01. 04. 2019 17:17)

Tari
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: UP
Pozice: učitel
Reputace:   
 

Objem dvacetistěnu pomocí jednotkových vektorů

Mohl by mi prosím někdo pomoct s odvození vzorce pro výpočet objemu dvacetistěnu pomocí principu linearizace.

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-04/31780_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek2.JPG

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-04/31804_V%25C3%25BDst%25C5%2599i%25C5%25BEek3.JPG

Proč beru jen těch úět vektorů?
Jak se dostali ke 1.18 a 1.19

Jak se to pak dá aplikovat na dvanáctistěn

Děkuji

Offline

 

#2 01. 04. 2019 17:43

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2165
Reputace:   67 
 

Re: Objem dvacetistěnu pomocí jednotkových vektorů

Že by Motl a Zahradník ?

Offline

 

#3 01. 04. 2019 17:45

Tari
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: UP
Pozice: učitel
Reputace:   
 

Re: Objem dvacetistěnu pomocí jednotkových vektorů

↑ MichalAld: přesně tak

Offline

 

#4 01. 04. 2019 18:54

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 2165
Reputace:   67 
 

Re: Objem dvacetistěnu pomocí jednotkových vektorů

Jo, ta knížka na mě udělala velký dojem...né že bych z ní teda něco pochopil, ale když vidím nějakou pasáž, tak ji poznám, hi.

S výpočtem ti ale bude muset pomoci někdo jiný....

Offline

 

#5 02. 04. 2019 00:31

laszky
Příspěvky: 1410
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Objem dvacetistěnu pomocí jednotkových vektorů

↑ Tari:

Ahoj, zrejme uvazuji $\|\vec{e}_i\|=1$, potom

$\|\vec{e}_1+\vec{e}_2+\vec{e}_3+\vec{e}_4+\vec{e}_5\|^2 = \sum_{i=1}^5\|\vec{e}_i\|^2+2\!\!\!\!\sum_{1\leq i<j\leq5}\vec{e}_i\cdot\vec{e}_j =$
$= 5+2(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2+\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3+\vec{e}_1\cdot\vec{e}_4+\vec{e}_1\cdot\vec{e}_5+\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3+\vec{e}_2\cdot\vec{e}_4+\vec{e}_2\cdot\vec{e}_5+\vec{e}_3\cdot\vec{e}_4+\vec{e}_3\cdot\vec{e}_5+\vec{e}_4\cdot\vec{e}_5) =$
$=5 + 2(\cos\varphi-\cos\varphi-\cos\varphi+\cos\varphi+\cos\varphi-\cos\varphi-\cos\varphi+\cos\varphi-\cos\varphi+\cos\varphi) = 5$

Takze $\vec{e}_1+\vec{e}_2+\vec{e}_3+\vec{e}_4+\vec{e}_5=\sqrt{5}\,\,\vec{e}_6$, a proto

$\|\vec{e}_1+\vec{e}_2+\vec{e}_3+\vec{e}_4+\vec{e}_5\|^2 = \sqrt{5}\vec{e}_6\cdot(\vec{e}_1+\vec{e}_2+\vec{e}_3+\vec{e}_4+\vec{e}_5) = 5\,\sqrt{5}\cos\varphi$

Z rovnosti $5\,\sqrt{5}\cos\varphi=5$ plyne $\cos\varphi=1/\sqrt{5}$ (projektovani nebylo potreba).

Tim zjistis, jaky je uhel mezi dvema sousednimi vektory. Z toho (kosinova veta) muzes spocitat delku hrany
dvacetistenu a objem jednoho z dvaceti trojbokych jehlanu (ctyrstenu). Podstavu kazdeho
z nich tvori rovnostranny trojuhelnik (stena dvacetistenu) a zbyly vrchol je stred dvacetistenu.

Offline

 

#6 02. 04. 2019 08:24

Tari
Zelenáč
Příspěvky: 3
Škola: UP
Pozice: učitel
Reputace:   
 

Re: Objem dvacetistěnu pomocí jednotkových vektorů

↑ laszky: Moc děkuji. Mohla bych ještě poprosit, jak by se to řešilo u dvanáctistěnu?

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson