Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 01. 06. 2019 21:40

Pomeranc
Příspěvky: 143
Pozice: student
Reputace:   
 

Důkazy-Hausdorffova míra

Ahoj,
bojuji s dvěma důkazy a nemohu moc na to přijít.
V prvním důkaze je problém jenom se sigmaaditivitou. Řekla bych, že ta sigmaaditivita vychází z toho, že Hausdorffova míra je metrická, ale ve skriptech je to popsáno jinak. Druhý důkaz moc nechápu.

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-06/17951_DK1.PNG
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-06/17987_DK2P1.PNG
//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-06/18021_DK2P2.PNG

Offline

 

#2 02. 06. 2019 14:53

Pomeranc
Příspěvky: 143
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkazy-Hausdorffova míra

A mně s tím nikdo nepomůže :( ?

Offline

 

#3 02. 06. 2019 15:25

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4643
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Důkazy-Hausdorffova míra

V těch skriptech
- věta 14.1.4 říká, že H^k je vnější míra,
- věta 14.1.8 pak říká, že vnější míra H^k je metrická (přitom se v důkazu používá, že to je opravdu vnější míra).

A pokud to dobře chápu, tak metričnost implikuje sigma-aditivitu pouze na vzdálených množinách, přitom my chceme sigma-subaditivitu na disjunktních množinách.
$\rho(A,B)>0\Rightarrow A\cap B=\emptyset\qquad\text{ale}\qquad A\cap B=\emptyset\not\Rightarrow\rho(A,B)>0$

> Stačí dokázat, že uzavřené množiny jsou $\gamma$-měřitelné.

Jestliže jsou uzavřené množiny měřitelné, pak jsou z definice sigma-algebry měřitelné i otevřené množiny. Ale sigma-algebra borelovských množin je generovaná právě otevřenými množinami.

>  Při ověřování $\gamma$-měřitelnosti množiny F je naším úkolem ukázat, že platí $\gamma(T)\ge\gamma(T\cap A)+\gamma(T\setminus A)$ pro libovolnou množinu $T\subseteq P$.

Tady se asi odvolávají na teorii míry – konkrétně na Caratheodoryho definici vnější míry.

Definice. Buď $X\neq\emptyset$ a $\mu^*$ vnější míra na $X$. Množina $A\subseteq X$ je $\mu^*$-měřitelná, pokud pro libovolnou podmnožinu $T\subseteq X$ platí $\mu^*(T)=\mu^*(T\cap A)+\mu^*(T\setminus A)$.

Přitom ze subaditivity máme automaticky $\gamma(T)\le\gamma(T\cap F)+\gamma(T\setminus F)$, stačí proto ukázat opačnou nerovnost. (Ve skriptech je asi překlep, podle mě tam chtějí mít F místo A.)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#4 03. 06. 2019 15:54

Pomeranc
Příspěvky: 143
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Důkazy-Hausdorffova míra

↑ byk7:

Super, děkuji :) .

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson