Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 03. 06. 2019 17:30

Petr11
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Fyzika - dostředivé zrychlení

Dobrý den,
mohl by mi někdo prosím odvodit vztah pro dostředivé zrychlení ?

Offline

 

#2 03. 06. 2019 21:57

edison
Příspěvky: 1491
Reputace:   34 
 

Re: Fyzika - dostředivé zrychlení

Takové odvození by mohlo vypadat různě, podle toho, jaký typ školy navštěvuješ. Takže bude dobré napsat něco o škole, případně kam jsi se už dostal, resp. na čem zasek.

Offline

 

#3 04. 06. 2019 05:43

KennyMcCormick
Příspěvky: 1613
Reputace:   48 
 

Re: Fyzika - dostředivé zrychlení

Já bych možná napsal VŠ verzi, protože když to někdo neumí odvodit, tak asi nebude ani vědět, jak začít.

Rychlost je
$\mathbf v = v\boldsymbol{\tau}^0$, kde $\boldsymbol{\tau}^0$ je jednotkový vektor ve směru rychlosti.

Zrychlení je
$\mathbf{a} = \frac{\d\mathbf{v}}{\d t}=\frac{\d v}{\d t}\boldsymbol{\tau}^0 + v\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d t}=\frac{\d v}{\d t}\boldsymbol{\tau}^0 + v\frac{\d s}{\d t}\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s} = \frac{\d v}{\d t}\boldsymbol{\tau}^0 + v^2\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s}$. (1)

První člen míří ve směru pohybu, tj. je to tečná složka zrychlení.

Zjistíme, jakým směrem míří druhý člen.

Protože $|\boldsymbol{\tau}^0| = 1$, je
$\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0=1$. Protože diferenciál jedné je nula, platí
$\d(\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0) = \d\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0 + \boldsymbol{\tau}^0\cdot\d\boldsymbol{\tau}^0 = 0$.

Skalární součin je komutativní, takže
$2\d\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0 = 0$, tj.
$\d\boldsymbol{\tau}^0\cdot\boldsymbol{\tau}^0 = 0$.

Protože je jejich skalární součin roven nule, vidíme, že vektory $\d \boldsymbol{\tau}^0$ a $\boldsymbol{\tau}^0$ jsou na sebe kolmé a vektor $\d \boldsymbol{\tau}^0$ míří do středu křivosti (což např. v případě pohybu po kružnici je střed kružnice).

Během změny vektoru $\boldsymbol{\tau}^0$ o $\d \boldsymbol{\tau}^0$ jsme urazili dráhu
$\d s = \varrho\d\varphi$, kde $\varrho$ je poloměr křivosti (např. v případě pohybu po kružnici je to poloměr kružnice) a $\d \varphi$ je opsaný úhel.

Z toho plyne
$\d\varphi = \frac{\d s}{\varrho}$.

Protože $\boldsymbol{\tau}^0$ je jednotkový vektor, je
$|\d \boldsymbol{\tau}^0| = \d\varphi$, tj.
$|\d\boldsymbol{\tau}^0| = \frac{\d s}{\varrho}$ (2).

Protože vektor $\d\boldsymbol{\tau}^0$ míří do středu křivosti, platí
$\d\boldsymbol{\tau}^0 = |\d\boldsymbol{\tau}^0|\textbf{n}^0$, kde $\textbf{n}^0$ je jednotkový normálový vektor (vektor mířící do středu křivosti).

Dosadíme za $|\d\boldsymbol{\tau}^0|$ z rovnice (2) a získáváme
$\d\boldsymbol{\tau}^0 = |\d\boldsymbol{\tau}^0|\textbf{n}^0 = \frac{\d s}{\varrho}\textbf{n}^0$ (3)

Vidíme tedy (jak jsme už zjistili předtím), že vektor $\d\boldsymbol{\tau}^0$ míří do středu křivosti. Člen $v^2\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s}$ z rovnice (1) je tedy dostředivé zrychlení.

$\textbf{a}_n = v^2\frac{\d \boldsymbol{\tau}^0}{\d s}$

Dosadíme z rovnice (3) za $\d\boldsymbol{\tau}^0$ a získáme
$\textbf{a}_n = \frac{v^2}{\varrho}\textbf{n}^0$, což je výsledek.

Kdyby tě zajímala velikost dostředivého zrychlení, tak protože $\textbf{n}^0$ udává pouze směr, je velikost dostředivého zrychlení
$a_n = \frac{v^2}{\varrho}$.

Pro speciální případ pohybu po kružnici (místo libovolného křivočarého pohybu) je $\varrho$ poloměr kružnice, čímž bychom dostali známý středoškolský vzorec
$a_n = \frac{v^2}r$.


Je to jasné?


Even if you take the best course of action, the universe is still allowed to say "So what?" and kill you.

Offline

 

#4 07. 06. 2019 16:07

Petr11
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: Fyzika - dostředivé zrychlení

Spokojím se s posledním příspěvkem. Děkuji moc !

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson