Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 06. 2019 23:56

cheethell
Zelenáč
Příspěvky: 21
Reputace:   
 

Limita goniometricke funkce

Ahoj, vim ze podobne tema tu nedavno bylo, ale nepochopil jsem to z nej.
Mam dva priklady:
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sin x}{x}=|\frac{omez.}{+\infty }| =  0$

$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sin x}{1-2^{-x}}=|\frac{neex.}{1 }| = neexistuje$

proc je jednou sin(x) omezena a jindy limita neexistuje?

Dekuji za pripadne vysvetleni.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) cheethell)

#2 09. 06. 2019 00:56 — Editoval krakonoš (09. 06. 2019 00:56)

krakonoš
Příspěvky: 512
Reputace:   20 
 

Re: Limita goniometricke funkce

↑ cheethell:
Ahoj.
Limita sinx pro x jdouci do nekonecna neexistuje,z podobneho duvodu, jako neexistuje  napr. limita pro  posloupnost minus jedna na ntou.Podposloupnost vybrana pro suda cisla by mela limitu jedna,zatimco pro licha cisla minus jedna.

-1/x je rovno mensi sinx/x je rovno mensi 1/x.Zde jde o aplikaci vety o sevrene limite.Limita 1/x i limita -1/x jsou nulove,takze i limita sinx/x bude nula.


tg(x)

Offline

 

#3 09. 06. 2019 01:10

cheethell
Zelenáč
Příspěvky: 21
Reputace:   
 

Re: Limita goniometricke funkce

Kdybych chtel aplikovat vetu o sevreni na druhy priklad.
Tak zde sevreni z leva:$\lim_{x\to+\infty }\frac{-1}{1-2^{-x}} = \frac{-1}{1-0} = -1$

a sevreni z prava: $\lim_{x\to+\infty }\frac{1}{1-2^{-x}} = \frac{1}{1-0} = 1$

jsou ruzne, tim padem limita neexistuje. Pochopil jsem to spravne?

Obecne, kdyz budu pocitat tento typ prikladu, mam vzdy overit vetu o sevrenosti ?

Offline

 

#4 09. 06. 2019 05:25

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4170
Škola:
Reputace:   103 
 

Re: Limita goniometricke funkce

↑ cheethell: Nie, nepochopil. Veta, ktoru mas na mysli, v predpokladoch uvadza, ze od isteho $x_0$ je $f(x) \le g(x) \le h(x)$ a $\lim_{x \to \infty}f(x) = \lim_{x \to \infty}h(x)$. Nehovori nic o pripade, kedy su tieto limity rozne. Ani nemoze, staci uvazovat o pripade konstantnych funkcii $f(x)=0, g(x)=1, h(x)=2$.

Offline

 

#5 09. 06. 2019 09:37

krakonoš
Příspěvky: 512
Reputace:   20 
 

Re: Limita goniometricke funkce

↑ cheethell:
To,že sevření nevede k cíli u výpočtu limity sinx pro x jdouci do nekonečna,je vidět i z toho,že sin x=sinx/x krát x.Šlo by o limitu typu 0 krát nekonečno.


tg(x)

Offline

 

#6 09. 06. 2019 13:25

cheethell
Zelenáč
Příspěvky: 21
Reputace:   
 

Re: Limita goniometricke funkce

Vyvodil jsem si z prikladů, že limita sin ci cos neexistuje. Ale pokud ji nasobim 0 tak limita je 0. Nebo pokud k ni pricitam nekonecno tak limita je nekonecno. Nebo kdyz ji delim 0 tak limita je nekonecno. Nebo kdyz ji delim nekonecnem tak limita je 0. Zatím mi to v příkladech fungovalo :) ale jisty si v tom nejsem.

Offline

 

#7 09. 06. 2019 15:40

vanok
Příspěvky: 13368
Reputace:   723 
 

Re: Limita goniometricke funkce


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 09. 06. 2019 17:02

cheethell
Zelenáč
Příspěvky: 21
Reputace:   
 

Re: Limita goniometricke funkce

O nedefinovaných výrazech mám páru. Myslím, že jsem nevěděl o tom, když je v příkladu ve jmenovateli neexistující limita výrazu a v čitateli je např 0 tak limita příkladu bude nekonecno. Když limita neexistovala, tak jsem si říkal, že to bude problém a nebudu moci použít standartní postup např právě když je ve jmenovateli 0.

Offline

 

#9 09. 06. 2019 19:16

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4643
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Limita goniometricke funkce

↑ cheethell: Tam nejde ani tak o tu neexistenci, jako o (ne)ohraničenost. Limita
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\sin(x)}{x}=\left\|\frac{\text{omez.}}{+\infty }\right\| =  0$
existuje, protože sinus je ohraničená funkce a intuitivně řečeno čím dal větší x ho stáhne k nule (korektní zdůvodnění viz výše).


Možná divočejší příklad je s Dirichletovou funkcí $\chi_\mathbb Q$, která je definovaná jako
$\chi_{\mathbb Q}(x)=\begin{cases} 1, & x\in\mathbb Q, \\
0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.\end{cases}$
Tato funkce nemá limitu v žádném bodě (ani jednostrannou), přesto, ze stejného důvodu jako v předchozím přídadě máme
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\chi_{\mathbb Q}(x)}{x}=\left\|\frac{\text{omez.}}{+\infty }\right\| =  0.$


No a naopak, funkce $\mathrm{e}^x\sin(x)$ je neohraničená pro $x>0$, proto limita
$\lim_{x\to+\infty }\frac{\mathrm{e}^x\sin(x)}{x}$
neexistuje.


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#10 10. 06. 2019 10:59

cheethell
Zelenáč
Příspěvky: 21
Reputace:   
 

Re: Limita goniometricke funkce

Děkuju všem za postřehy, teď si to tak dokáži představit. A dává mi to smysl.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson