Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 09. 06. 2019 18:21 — Editoval Pluhtik (09. 06. 2019 18:22)

Pluhtik
Příspěvky: 32
Pozice: student
Reputace:   
 

Limita a integrál (dva příklady)

Zdravím,
potřeboval bych pomoci s řešením dvou příkladů, které byly na zkoušce a já nechápu, jakým způsobem by se měly řešit.

Prvním je limita:
$\lim_{x \to\infty } (\text{tg}(x+\frac{\pi }{4}))^{cotg(2x)}$

Podle mého mínění se limita toho tg blíží k 1 a cotg(2x) by se mělo blížit k nekonečnu. Potom jedna na nekonečno by pořád mělo být 1. Ale správný výsledek má být e.

Druhým je pak určitý integrál
$\int\limits_{-2}^3x^{2} sgn(x)$

To jsem rozdělil na dva určité integrály (od -2 do 0 a od 0 do 3) a ty jsem pak zvlášť vypočítal (dvakrát jsem použil metodu per partes, čímž jsem dostal absolutní hodnotu X (místo sgn(x)). Konkrétně přesně takto:
$\int\limits_{-2}^0x^{2} sgn(x) dx + \int\limits_{0}^3x^{2} sgn(x) dx = $

$[x^{2} * |x|]_{-2}^{0} - 2 * \int\limits_{-2}^0x * |x|dx + [x^{2} * |x|]_{0}^{3} - 2 * \int\limits_{0}^3x * |x|dx = $

$[x^{2} * |x|]_{-2}^{0} + [4x]_{-2}^{0} + [x^{2} * |x|]_{0}^{3} - [4x]_{0}^{3} = -8 - 8 + 27 - 12 = -3  $

Skutečný výsledek by ale měl být $\frac{19}{3}$.

Offline

 

#2 09. 06. 2019 18:55 — Editoval byk7 (09. 06. 2019 19:22)

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4638
Škola: PřF MUNI
Reputace:   219 
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

Ahoj, pro příště prosím každý příklad do jednoho tématu, zvlášť, když tyto dva příklady příliš nesouvisí.

Pluhtik napsal(a):

Podle mého mínění se limita toho tg blíží k 1 a cotg(2x) by se mělo blížit k nekonečnu.

To není pravda. Limita v nekonečnu ani jedné z funkcí neexistuje

Pluhtik napsal(a):

Druhým je pak určitý integrál
$\int\limits_{-2}^3x^{2} sgn(x)$

Ten výpočet je nějaký zmatený (aspoň já se v tom nedokážu zorientovat). Nerozumím tomu, proč ten integrál rozděluješ, když pak stejně používáš stejné per partes na oba.

Na druhou stranu, rozdělení je dobrá myšlenka, protože $\text{sgn}(x)=-1$ pro $x<-1$ a $\text{sgn}(x)=1$ pro $x>1$, takže
$\int\limits_{-2}^3x^{2}\,\text{sgn}(x)\,\d x=\int\limits_{-2}^0x^{2}\,\text{sgn}(x)\,\d x+\int\limits_{0}^3x^{2}\,\text{sgn}(x)\,\d x=\int\limits_{-2}^0x^{2}\cdot(-1)\,\d x+\int\limits_{0}^3x^{2}\cdot1\,\d x=\int\limits_{0}^3x^{2}\,\d x-\int\limits_{-2}^0x^{2}\,\d x=\cdots$


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#3 10. 06. 2019 10:53 — Editoval Pluhtik (10. 06. 2019 11:01)

Pluhtik
Příspěvky: 32
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

Děkuji a můžeš mi tedy prosím vysvětlit, jak je to s tou limitou?

Jen ještě dotaz - ty s tím sgn(x) pracuješ, jako by to byla konstanta. Copak to můžeš rovnou vyhodnotit, na 1 (nebo -1) a pak to integrovat?

Offline

 

#4 14. 06. 2019 16:34

Mfan
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ Pluhtik:
Zdravím,

v té limitě jste se asi "upsal", možná mělo být $\lim_{x\to 0}$ .. a odpovídá tomu i Vaše úvaha pod zadáním. Našel jsem tento příklad v pdf na is.muni.cz:

//forum.matematika.cz/upload3/img/2019-06/22601_Limita.png

Pozn.: Jde o cvičení na L'Hospitalovo pravidlo.

Offline

 

#5 14. 06. 2019 17:05

Mfan
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ Pluhtik:
Taky se v řešení "upsali" na konci předposledního a na začátku posledního řádku. Má tam být ln (tg (..))  :)

Offline

 

#6 14. 06. 2019 17:56

krakonoš
Příspěvky: 505
Reputace:   20 
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ Mfan:
Ahoj
Také by šlo postupovat následovně
$\lim_{x\to0}cotg(2x)\cdot ln(tg(\frac{\pi }{4}+x))=$$\lim_{x\to0}cotg(2x)\cdot ln(\frac{cosx+sinx}{cosx-sinx})^{\frac{2}{2}}=$$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot \frac{cos2x}{sin2x}\cdot ln(1+\frac{2\cdot sin2x}{1-sin2x})=$$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot \frac{cos2x}{sin2x}\cdot \frac{2sin2x}{1-sin2x}=1$
Takže zadaná limita bude$e^{1}=e$


tg(x)

Offline

 

#7 14. 06. 2019 19:02

krakonoš
Příspěvky: 505
Reputace:   20 
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ Mfan:
A co se týče L´Hospitalova pravidla, autoři učebnice ho  zbytečně aplikují i na funkci cos2x.
Stačilo by spočíst $\lim_{x\to0}\frac{ln( tg(\frac{\pi }{4}+x))}{sin2x}$.


tg(x)

Offline

 

#8 14. 06. 2019 21:56

Mfan
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ krakonoš:
Ahoj,
dobrý postřeh, cos 0 = 1 a pak to bude jednodušší.
Jen zaboha nemůžu přijít na to, kde se vzala ta dvojka ve výrazu za druhým rovnítkem v tom logaritmu:
$\lim_{x\to0}\frac{1}{2}\cdot \frac{cos2x}{sin2x}\cdot ln(1+\frac{\textbf {2}\cdot sin2x}{1-sin2x})$
Snažil jsem se ji zvýraznit, je to ta 2.sin 2x. Mně tam vyšlo jen jednou sin 2x , ale to mám zřejmě špatně.

Offline

 

#9 14. 06. 2019 22:06

krakonoš
Příspěvky: 505
Reputace:   20 
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ Mfan:
(cosx+sinx)/(cosx-sinx) umocnime nadruhou cely tento zlomek
a dostaneme (1+sin2x)/(1-sin2x)=(1-sin2x+sin2x+sin2x)/(1-sin2x)


tg(x)

Offline

 

#10 14. 06. 2019 22:13

Mfan
Zelenáč
Příspěvky: 16
Reputace:   
 

Re: Limita a integrál (dva příklady)

↑ krakonoš:
Nojo, výpadek procesoru!
Dík.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson