Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 06. 2019 00:05 — Editoval 1jirka22 (12. 06. 2019 00:59)

1jirka22
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Dvojný integrál s absolutní hodnotou

Ahoj, potřeboval bych malou radu mám vypočítat tento dvojný integrál: $\int_{}^{}\int_{M}^{}\frac{1}{6}|x|\cdot y dxdy
$
Po této množině M: $x^{2}+\frac{y^{2}}{9}\le 1, y\ge x\sqrt{3}
$
Udělal jsem převod na polární souřadnice
$x=a\cdot r\cdot cos\varphi 
$
$y=b\cdot r\cdot sin\varphi 
$
kde
$0\le r\le 1
$
$\frac{\pi }{3}\le \varphi\le \frac{5\pi }{6}
$
Mám integrál rozdělit na dva dvojné integrály a určit si nulový bod? Ve kterém se láme kladná hodnota a záporná? Jde mi o cosinus - ten se láme v $\frac{\pi }{2}$
$\frac{1}{6}$$\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{1}$$r^{2}\cdot sin\varphi \cdot cos\varphi abrdrd\varphi + \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{6}}\int_{0}^{1}-r^{2}\cdot sin\varphi \cdot cos\varphi abrdrd\varphi
$
Je to takto dobře?
Díky moc za rady :)

Offline

 

#2 12. 06. 2019 00:44 — Editoval laszky (12. 06. 2019 00:48)

laszky
Příspěvky: 1401
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ 1jirka22:

Ahoj, myslim, ze:

1) Meze pro $\varphi$ by mely byt $\pi/6\leq \varphi\leq 7\pi/6$
2) Chybi ti dosadit $a=1$ a $b=3$
3) Pri transformaci souradnic bys mel jeste zkusit spocitat Jakobian.
4) Kam se podela ta jedna sestina?
5) Nema v tom puvodnim integralu byt dx dy ?

Offline

 

#3 12. 06. 2019 00:53 — Editoval 1jirka22 (12. 06. 2019 01:08)

1jirka22
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ laszky:
promiň, psal jsem to rychle, jasně, že máš pravdu s tim dx dy jsem se spletl na začátku, jakobián chybí ten je a.b.r, i jedna šestina chybí
Tam je směrnice $\sqrt{3}$ takže úhel 60°. Ale potom se udělal chybu, udělal jsem z toho absolutní hodnotu. Ale ta spodní mez by měla být $\frac{\pi }{3}$, do $\frac{4\pi }{3}$ne ? :)
Ale teď jsem pouze myslel, jestli jde rozdělit takto integrál? :)

Offline

 

#4 12. 06. 2019 01:07

laszky
Příspěvky: 1401
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ 1jirka22:

Pruseciky primky a elipsy maji souradnice $\left[\sqrt{3}/2,3/2\right]$ a $\left[-\sqrt{3}/2,-3/2\right]$. Jsou to tedy body

$x_1=\cos\frac{\pi}{6}$ a $y_1=3\sin\frac{\pi}{6}$
$x_2=\cos\frac{7\pi}{6}$ a $y_2=3\sin\frac{7\pi}{6}$

Takze meze pro $\varphi$ jsou $\pi/6\leq \varphi\leq 7\pi/6$.

Integral rozdelit lze ;-)

Offline

 

#5 12. 06. 2019 01:09

1jirka22
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ laszky:
Takže to jde uplně takovým způsobem? :) Když přimhouříš oči nad mezemi integrálu :)

Offline

 

#6 12. 06. 2019 01:11

laszky
Příspěvky: 1401
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ 1jirka22:

Ano :-)

Offline

 

#7 12. 06. 2019 01:13 — Editoval 1jirka22 (12. 06. 2019 01:14)

1jirka22
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ laszky:
jenom ty meze pro $\varphi $
Ty průsečíky tak mají být :) Ale když uděláš $tan\frac{1,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=60°=\frac{\pi }{3}$
ale těch 60° vyplývá už ze směrnice té přímky, ne? :)

Offline

 

#8 12. 06. 2019 01:17

laszky
Příspěvky: 1401
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ 1jirka22:

To by platilo pro kruznici. Elipsa je "zmacknuta", takze tam ten uhel neodpovida tomu, co bys cekal.

Offline

 

#9 12. 06. 2019 01:20

1jirka22
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ laszky:
A mohl by si mi prosím vysvětlit, jak přijít na ten úhel? :) $\varphi $

Offline

 

#10 12. 06. 2019 01:25

laszky
Příspěvky: 1401
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ 1jirka22:

Spocitas pruseciky. Vis, ze nove souradnice jsou $x=r\cos\varphi$ a $y=3r\sin\varphi$. Na hranici je $r=1$, takze ti uz zbyva jen dopocitat $\varphi$ tak, aby platilo

$\cos\varphi=\sqrt{3}/2$ nebo $3\sin\varphi=3/2$

Obdobne pro ten druhej bod.

Offline

 

#11 12. 06. 2019 01:27

1jirka22
Příspěvky: 91
Reputace:   
 

Re: Dvojný integrál s absolutní hodnotou

↑ laszky:
Jasný , díky moc :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson