Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 12. 06. 2019 17:51

Kleanthés
Příspěvky: 26
Pozice: Student
Reputace:   
 

Matematická indukce

$V(n): (1+\frac{1}{3})^{n} \ge 1+\frac{n}{3}$

1) $V(1): (1+\frac{1}{3})^{1} \ge 1+\frac{1}{3}$

2) $V(k)\Rightarrow V(k+1): [(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 1+\frac{k}{3}] \Rightarrow [(1+\frac{1}{3})^{k+1} \ge 1+\frac{k+1}{3}]$

    $(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 1+\frac{k}{3}+\frac{1}{3}$

    $4(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 3(1+\frac{k}{3})+1$ nyní provedu indukční krok

    $(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 1$

    $4^{k} \ge 3^{k}$

$\square $

Můj dotaz zní: Je správně ten indukční krok nebo jak by se dalo jinak postupovat?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Kleanthés)

#2 12. 06. 2019 18:35 — Editoval krakonoš (12. 06. 2019 18:40)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Matematická indukce

Ve ctvrtem radku se da primo uz pouzit indukcni predpoklad,kde prava strana indukcniho predpokladu ,tedy nerovnosti bude vynasobena 4/3.Pak staci
zavorku roznasobit a porovnat 4/3 +(4/9)k  s tim co ma vyjit


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#3 12. 06. 2019 19:18

Kleanthés
Příspěvky: 26
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce

↑ krakonoš:

$\frac{4}{3}(1+\frac{1}{3})^{k} \ge (\frac{4}{3}+\frac{k}{3}=\frac{4}{3}+\frac{4k}{9})$
$0 \ge -\frac{k}{9}$
$k \ge 0$

Takto? A ten předchozí postup byl v pořádku?

Offline

 

#4 12. 06. 2019 19:35 — Editoval krakonoš (12. 06. 2019 19:53)

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Matematická indukce

↑ Kleanthés:prava strana nerovnice po vyuziti induk predpokladu
4/3*(1+k/3)=4/3+k*4/9>4/3+k/3
Musis se vzdy drzet toho,co mas dokazat.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#5 12. 06. 2019 20:44

Kleanthés
Příspěvky: 26
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce

↑ krakonoš:

Tedy bych mohl završení důkazu napsat takto?

$\frac{4}{3}(1+\frac{1}{3})^{k} \ge \frac{4}{3}+\frac{4k}{9} > \frac{4}{3}+\frac{k}{3}$

Z toho již plyne, co jsme chtěli dokázat. A proč nemůže být závěr k >= 0 apod., když jsme k tomu dospěli na základě ekvivalentních vztahů?

Offline

 

#6 12. 06. 2019 21:54

krakonoš
Příspěvky: 555
Reputace:   20 
 

Re: Matematická indukce

↑ Kleanthés:
Z tveho posledniho kroku(ctyri na ktou je rovno nebo vetsi nez tri na ktou) zpetne vyplyva predposledni vztah. Tyto dva vztahy jsou skutecne ekvivalentni.Ovsem z predposledniho vztahu zpetne nevyplyva ten predpredposledni.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#7 13. 06. 2019 05:37 — Editoval kerajs (13. 06. 2019 12:27)

kerajs
Příspěvky: 177
Reputace:   15 
 

Re: Matematická indukce

Kleanthés napsal(a):

jak by se dalo jinak postupovat?

$n\ge 2 \ :  \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad    \qquad \qquad \qquad  \qquad \qquad \qquad  \\
(1+\frac{1}{3})^{n}=1+ {n \choose 1}   \frac{1}{3}+ \sum_{i=2}^{n} {n \choose i}  \left(  \frac{1}{3}  \right)^i =
1+  \frac{n}{3}+ \sum_{i=2}^{n} {n \choose i}  \left(  \frac{1}{3}  \right)^i $

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson