Matematické Fórum

honza98 · 17. 06. 2019 21:59

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s vyšetřením konvergence následující řady: $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{x^{n+1}\cdot n}{4^{n}\cdot n^{2}+(-5)^{n}\cdot n+6n^3}$ .
Výraz jsem si upravil takto: $\sum_{n=1}^{\infty } (-1)^n\cdot \frac{x^{n+1}}{n^2\cdot 5^{n}\cdot ( (-1)^n\cdot 1/n \cdot 4^{n}/5^n +1/n^2+6/5^n\cdot (-1)^n)}$ . A pomocí kombinace limitního srovnávacího kritéria v kombinaci s odmocninovým kriteriem jsem zjistil, že není absolutně konvergentní pro $|x|>5$ , ale nevím jak vyšetřit konvergenci podle Liebnizova kritéria, a potom celkově jak vyšetřit konvergenci pro $|x| \le 5$ . Výsledek je, že řada je absolutně konverguje pro $|x| < 5$ a diverguje pro $|x| \ge 5$ .

jarrro · 18. 06. 2019 09:39

polomer konvergencie je 5 napr. podľa podielového kritéria teda stačí skúmať
5 a -5
$\frac{5^{n+1}}{4^{n}\cdot n+(-5)^{n}+6n^2}=\frac{5$-1$^{n}}{$-\frac{4}{5}$^{n}\cdot n+1+6\frac{n^2}{$-5$^n}}\not{\!\!\to}0\nl\frac{$-5$^{n+1}}{4^{n}\cdot n+(-5)^{n}+6n^2}=\frac{-5}{$-\frac{4}{5}$^{n}\cdot n+1+6\frac{n^2}{$-5$^n}}\not{\!\!\to}0$

honza98 · 18. 06. 2019 15:59

Díky za odpověď, ale pojem poloměr konvergence jsme na hodinách neměli zavedený. Omlouvám se měl jsem to zapsat do úvodního příspěvku, ale na přednáškách byli jenom: nutná podmínka konvergence, srovnávací kritérium, limitní srovnávací kritérium, podílové kritérium, odmocninové kritérium a liebnizovo kritérium.

vlado_bb · 18. 06. 2019 16:18

↑ honza98: To, co pises, suvisi s ciselnymi radmi, ale uloha, ktoru tu uvadzas, hovori o funkcionalnom rade, konkretne mocninnom. Je mozne, ze pojem polomeru konvergencie ste na prednaske nemali (aj ked dost pochybujem) - na vysokej skole nemusi prednaska pokryvat vsetko, co treba na skuske vediet. Zvysok treba dostudovat z literatury.

honza98 · 18. 06. 2019 17:22

Pojem poloměr konvergence jsme si skutečně na přednášce neuváděli, protože i kdybych si to špatně pamatoval z hodiny, tak v učebnici/skriptech, která je určená přesně pro tento předmět a obsah je víceméně přesný přepis přednášky ,tento pojem není. Zkouška, z které je tento příklad, je postavená tak, že k řešení je potřeba umět, právě věty a definice z této učebnice. Pojem funkcionální řada, minimálně v té kapitole, z které je test složený, také v učebnici není, možná jsem měl už do začátku uvést znění úlohy. Za úkol je vyšetřit konvergenci a absolutní konvergenci řady v závislosti na parametru x.

krakonoš

↑ honza98:
Ahoj
Misto Leibnizova kriteria bych asi uvazovala o konvergentni majorante.
Citatele i jmenovatele bych vydelila n,dale bych vynasobila citatele i jmenovatele minus jedna na ntou,vytkneme pet na ntou.Absolutni hodnotu clenu lze shora tak odhadnout clenem mocninne rady krat zlomek,ktery je podle me shora i zdola omezeny kladnou konstantou,pocinaje nejakym n.To usuzuji z limity jmenovatele,ktera je 0plus 1 plus 0.
Na Abelovo kritetium-obdoba Leibnize, tam je sice videt konvergentni rada,neni zde ale monotonie druheho clenu rady.

honza98 · 19. 06. 2019 17:08

A nevychází tam v tom jmenovateli nula krát nekonečno při výpočtu limity?

krakonoš

↑ honza98:

$\frac{n\cdot x^{n+1}}{4^{n}\cdot n^{2}+(-5)^{n}.n+6n^{3}}=$ $x\cdot (\frac{x}{5})^{n}\cdot (-1)^{n}\cdot \frac{1}{(-\frac{4}{5})^{n}\cdot n+1+6n^{2}\cdot( \frac{-1}{5})^{n}}$

$\lim_{n\to\infty }(\frac{4}{5})^{n}\cdot n=\lim_{n\to\infty }n\cdot e^{-n\cdot log(\frac{5}{4})}=0$
$\lim_{n\to\infty }(\frac{-4}{5})^{n}\cdot n=0$ (vyplývá to z věty o sevřené limitě -obdoba $\lim_{n\to\infty }\frac{(-1)^{n}}{n}$ )
Podobně u limity výrazu $6n^{2}\cdot (\frac{-1}{5})^{n}$ . Opět to vede k nulové limitě.
Takže existuje takové $n_{0}$ , že zlomek 1/..... bude omezen shora kladnou konstantou K.
Lze tedy zadanou sumu rozdělit na dvě , kde první je konečná , má konečný počet členů a druhá běží od $n_{0}$ do nekonečna. U této druhé nekonečné sumy lze přejít ke konvergentní majorantě, protože
$\sum_{n_{0}}^{\infty }|x\cdot (\frac{x}{5})^{n}\cdot (-1)^{n}\cdot \frac{1}{(\frac{-4}{5})^{n}\cdot n+1+6n^{2\cdot (\frac{-1}{5})^{n}}}|$ $=<\sum_{n_{0}}^{\infty }K\cdot x\cdot (\frac{x}{5})^{n}$
Nepodařilo se mi správně napsat $6n^{2}\cdot (\frac{-1}{5})^{n}$ uvnitř absolutní hodnoty