Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 06. 2019 18:31

alixer
Příspěvky: 62
Reputace:   
 

Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

Dobrý den,

řeším příklad se soustavou lineárních rovnic s parametrem.

Zadaní je : 
$x+(p-1)y-z = 0 \\
y+z = 1\\
(p-1)x+ 3y + z = p$


Což jsem si přepsal do matice 
$\begin{pmatrix}
 1& (p-1) &-1  &0 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
 (p-1)&3  &  1&p 
\end{pmatrix}$

S touto maticí ale nevím jak dále postupovat, jelikož ji nedokážu dostat do horního trojúhelníkového tvaru. Může mi někdo ukázat postup úpravy ?

Děkuji.

Offline

 

#2 18. 06. 2019 19:04 — Editoval Ferdish (18. 06. 2019 19:05)

Ferdish
Příspěvky: 1414
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   45 
 

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

Nebude jednoduchšie z druhej rovnice vyjadriť z pomocou y, dosadiť do zvyšných dvoch a riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych? Alebo to musíte nutne riešiť cez matice?

Offline

 

#3 18. 06. 2019 19:12

alixer
Příspěvky: 62
Reputace:   
 

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

↑ Ferdish:

Je nutné řešení pomocí matice do trojúhelníkového tvaru a následné vyjadřování proměnných odspodu matice.

Offline

 

#4 18. 06. 2019 19:14

kerajs
Příspěvky: 177
Reputace:   15 
 

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

Offline

 

#5 18. 06. 2019 20:46

laszky
Příspěvky: 1410
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

Offline

 

#6 18. 06. 2019 21:21 — Editoval kerajs (18. 06. 2019 21:28)

kerajs
Příspěvky: 177
Reputace:   15 
 

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

Ano

laszky napsal(a):

↑ kerajs:
$ \det \begin{pmatrix}
 1& (p-1) &-1  \\ 
 0& 1 & 1 \\ 
 (p-1)&3  &  1 
\end{pmatrix}= 1 {\color{red}+} (p-1)^2+(p-1)-3 = (p+1)(p-2)$

a)
soustava má jedno řešení pro $p \in \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}$
https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo

b)
$p =-1 \ \ \Rightarrow $
$ \begin{cases} x+(-1-1)y-z = 0 \\
y+z = 1\\
(-1-1)x+ 3y + z = -1 \end{cases}$

c)
$p =2 \ \ \Rightarrow $
$ \begin{cases} x+(2-1)y-z = 0 \\
y+z = 1\\
(2-1)x+ 3y + z = 2 \end{cases}$

Offline

 

#7 19. 06. 2019 01:12

jarrro
Příspěvky: 4990
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   283 
Web
 

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

$\begin{pmatrix}
 1& (p-1) &-1  &0 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
 (p-1)&3  &  1&p 
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}
 1 & (p-1) &-1  &0 \\ 
 0 & 1 & 1 & 1\\ 
 0 & 3-\(p-1\)^2  &  p& p 
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}
 1 & (p-1) &-1  &0 \\ 
 0 & 1 & 1 & 1\\ 
 0 & 0  &  p-\(3-\(p-1\)^2 \)& p-\(3-\(p-1\)^2\)\end{pmatrix}\stackrel{\(p-1\)^2+p-3\neq 0}{\sim}\nl\stackrel{\(p-1\)^2+p-3\neq 0}{\sim}\begin{pmatrix}
 1& (p-1) &-1  &0 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
 0&0  &  1&1 
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}
 1& 0 &-p  &1-p \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
 0&0  &  1&1 
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}
 1& 0 &0  &1 \\ 
 0& 1 & 0 & 0\\ 
 0&0  &  1&1 
\end{pmatrix}\nl
\begin{pmatrix}
 1& -2 &-1  & 0 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}
 1& 0 & 1  & 2 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
\end{pmatrix}\nl
\begin{pmatrix}
 1& 1 &-1  & 0 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}
 1& 0 &-2  & -1 \\ 
 0& 1 & 1 & 1\\ 
\end{pmatrix}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson