Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 06. 2019 15:14

Margaréta
Zelenáč
Příspěvky: 1
Škola: UKF
Pozice: Študent
Reputace:   
 

Rimannov určitý integrál

Ahojte, prosím, viete ako pomocou definície Riemannovho určitého integrálu vyrátať toto: integrál v hraniciach od a po b z 2x+3. Malo by sa to robiť takýmto spôsobom, ako je na obrázku: //forum.matematika.cz/upload3/img/2019-06/36390_received_2295810270661340.jpeg

Offline

 

#2 20. 06. 2019 20:11

byk7
InQuisitor
Příspěvky: 4653
Škola: PřF MUNI
Reputace:   220 
 

Re: Rimannov určitý integrál

$s(f,D)=\sum_{i=1}^nm_i^D\(a_i-a_{i-1}\)$Ahoj, ono je to vlastně jednoduché, jen ti asi uniká podstata. Pro ohraničenou funkci $f$ na intervalu $[a,b]$ a nějaké libovolné dělení $D=\{a=a_0<a_1<\cdots<a_n=b\}$ klademe
$m_i^D=\inf\{f(x)\,;\,x\in[a_{i-1},a_i]\}$ a $s(f,D)=\sum_{i=1}^nm_i^D\(a_i-a_{i-1}\)$.
Obrázek snad napoví.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Darboux.svg/640px-Darboux.svg.png?1561050354138

K tvému příkladu
- zvolme nulovou posloupnost dělení $(D_n)_{n\ge1}$
- pro názornost se podívejme na hodnoty $s(2x+3,D_n)$ pro malé hodnoty n
n=1: $D_1=\{a,b\},\quad m_1^{D_1}=\inf\{2x+3\,;\,x\in[a,b]\}=2a+3,\quad s(2x+3,D_1)=(2a+3)(b-a)$
n=2:
$D_2&=\{a,\frac{a+b}{2},b\} \\
m_1^{D_2}&=\inf\{2x+3\,;\,x\in\[a,\frac{a+b}{2}\]\}=2a+3 \\
m_2^{D_2}&=\inf\{2x+3\,;\,x\in\[\frac{a+b}{2},b\]\}=a+b+3 \\
s(2x+3,D_2)&=(2a+3)\(\frac{a+b}{2}-a\)+(a+b+3)\(b-\frac{a+b}{2}\)=(3a+b+6)\cdot\frac{b-a}{2}$
a analogicky pro $n\ge3$

- zkusme přejít k obecnému $n$
- uvědomme si dvě věci, prvně, že 2x+3 je roustoucí, takže infimum $\inf\{2x+3\,;\,x\in\[a_{i-1},a_i\]\}$ se bude realizovat vždy v bodě $a_{i-1}$, a za druhé – kvůli zjednodušení používáme dělení, které má všechny dílky stejné, tedy $h_n=(b-a)/n$

- tedy pro dělení $D_n=\{a=a+0h_n, a+h_n, a+2h_n,\ldots,a+(n-1)h_n, a+nh_n=b\}$ máme
$m_1^{D_n}&=\inf\{2x+3\,;\,x\in\[a,a+h_n\]\}=2a+3 \\
m_2^{D_n}&=\inf\{2x+3\,;\,x\in\[a+h_n,a+2h_n\]\}=2\(a+h_n\)+3 \\
&\vdots \\
m_{n-1}^{D_n}&=\inf\{2x+3\,;\,x\in\[a+(n-2)h_n,a+(n-1)h_n\]\}=2\(a+(n-2)h_n\)+3 \\
m_n^{D_n}&=\inf\{2x+3\,;\,x\in\[a+(n-1)h_n,b\]\}=2\(a+(n-1)h_n\)+3$
- v našem dělení platí $a_1-a_0=a_2-a_1=\cdots=a_{n-1}-a_{n-2}=a_n-a_{n-1}=h_n=(b-a)/n$, proto
$s\(2x+3,D_n\)&=\sum_{i=1}^nm_i^{D_n}\(a_i-a_{i-1}\)=\sum_{i=1}^nm_i^{D_n}h_n=h_n\sum_{i=1}^nm_i^{D_n}= \\
&=h_n\sum_{i=1}^n\bigl(2\(a+(i-1)h_n\)+3\bigr)=h_n\sum_{i=1}^n\bigl(2a+3+2(i-1)h_n\bigr)= \\
&=h_nn(2a+3)+2h_n^2\sum_{i=1}^n(i-1)=(b-a)(2a+3)+2h_n^2\cdot\frac{n(n-1)}{2}= \\
&=(b-a)(2a+3)+(b-a)^2\(1-\frac{1}{n}\)$
a
$\int\limits_{\overline a}^b(2x+3)\,\d x&=\lim_{n\to\infty}s\(2x+3,D_n\)=\lim_{n\to\infty}\((b-a)(2a+3)+(b-a)^2\(1-\frac{1}{n}\)\)= \\
&=(b-a)(2a+3)+(b-a)^2\cdot\lim_{n\to\infty}\(1-\frac{1}{n}\)= \\
&=(b-a)(2a+3)+(b-a)^2=(b-a)(a+b+3)$


- no, a teď ještě musíš udělat to samé pro
$M_i^D=\sup\{f(x)\,;\,x\in[a_{i-1},a_i]\},\quad S(f,D)=\sum_{i=1}^nM_i^D\(a_i-a_{i-1}\)$ a $\int\limits_a^{\underline b}f(x)\,\d x=\lim_{n\to\infty}S\(f,D_n\)$
což už přenechám tobě ;)


Příspěvky psané červenou barvou jsou moderátorské, šedá je offtopic.

Offline

 

#3 21. 06. 2019 11:24 — Editoval krakonoš (21. 06. 2019 11:50)

krakonoš
Příspěvky: 834
Reputace:   26 
 

Re: Rimannov určitý integrál

↑ Margaréta:
Ahoj
Nejprve bych doporučila obecné odvození vzorců-  dolního a horního součtu u spojité funkce,která je rostoucí na zadaném intervalu <a,b>.V řešeném příkladě není odvození pro horní součet, proto jsem se rozhodla uvést oba tyto vzorce .
$s(f,D_{n})=(f(a)+f(a+h_{n})+f(a+2h_{n})+\ldots+ f(a+(n-1)h_{n})\cdot h_{n}$
$S(f,D_{n})=(f(b)+f(b-h_{n})+f(b-2h_{n})+\ldots+ f(b-(n-1)h_{n})\cdot h_{n}$
Následně lze dosadit do vzorce, sečíst stejné členy a využít součtu aritmetické posloupnosti.
Nakonec využijeme vztahu $h_{n}=\frac{b-a}{n}$ a přejdeme k výpočtům limit pro horní a dolní součet.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson