Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 06. 2019 09:54

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Logaritmické rovnice

Jak to mám vyřešit?
$\frac{\log_{10}(x-4)}{\log_{10}(x+1)}.\log_{10}(x+2)=\log_{10}(x+3)$
Děkuji.
Tony

Offline

 

#2 29. 06. 2019 12:10 — Editoval gadgetka (29. 06. 2019 12:21)

gadgetka
Příspěvky: 8458
Škola: Gymnázium Nové Město na Moravě (1985)
Pozice: maminka
Reputace:   461 
 

Re: Logaritmické rovnice

Ahoj, Tony, to je původní zadání nebo už po nějaké úpravě?

Nemá být zadání spíš takto?
$\frac{(\log x -4)}{(\log x +1)}\cdot (\log x+2)=\log x+3$


Nejsem učitelka, proto matematiku neučím, ale přímo ji řeším...

Offline

 

#3 11. 07. 2019 10:12

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

Ano, je to původní rovnice zapsaná přesně se závorkami.
Tony

Offline

 

#4 11. 07. 2019 10:56

gadgetka
Příspěvky: 8458
Škola: Gymnázium Nové Město na Moravě (1985)
Pozice: maminka
Reputace:   461 
 

Re: Logaritmické rovnice

Ahoj, tak ještě mrkni do výsledků, pokud je tam uvedeno
$10^{-\frac{11}{6}}$ nebo $\frac{1}{10^{\frac{11}{6}}}$ nebo $\frac{1}{\sqrt[6]{10^{11}}}$ nebo $\frac{1}{10\sqrt[6]{10^{5}}}$

pak jde jen o tiskařského šotka a zadání má být tak, jak jsem ti ho napsala já ... pokud je ve výsledcích něco jiného, pak příklad přenechávám chytřejším kolegům, protože já osobně si myslím, že se znalostmi středoškoláka je příklad v tvém podání neřešitelný ... :)


Nejsem učitelka, proto matematiku neučím, ale přímo ji řeším...

Offline

 

#5 11. 07. 2019 21:26

laszky
Příspěvky: 1450
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   116 
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ tony123:

Ahoj.

1. Nejdriv zduvodni, proc musi byt $x>4$.
2. Potom zduvodni, proc musi byt dokonce $x>5$.
3. Vyuzij toho, ze logaritmus je rostouci funkce a ukaz, ze rovnice nema reseni.

Offline

 

#6 12. 07. 2019 19:00

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

Ahoj,
bod 1. je jasný, bod 2. a 3. nikoliv. To bych potřeboval objasnit.
Děkuji.
T.

Offline

 

#7 12. 07. 2019 19:28 — Editoval Ferdish (13. 07. 2019 13:43)

Ferdish
Příspěvky: 1545
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   47 
 

Re: Logaritmické rovnice

gadgetka napsal(a):

...já osobně si myslím, že se znalostmi středoškoláka je příklad v tvém podání neřešitelný ... :)

Naopak, ten príklad je riešiteľný, aj v prípade, že použijem len stredoškolské metódy.

Aj keď nakoniec dôjdem k výsledku, že úloha nemá riešenie pre žiadne $x\in \mathbb{R}$ :)

tony123 napsal(a):

Ahoj,
bod 1. je jasný, bod 2. a 3. nikoliv. To bych potřeboval objasnit.

2. Skús vyhodnotiť znamienka hodnôt jednotlivých logaritmov pre $x\in (4;5\rangle$.

3. To by mali byť len počty s využitím SŠ vzorcov pre úpravu logaritmov.

Offline

 

#8 12. 07. 2019 20:11 — Editoval gadgetka (12. 07. 2019 20:12)

gadgetka
Příspěvky: 8458
Škola: Gymnázium Nové Město na Moravě (1985)
Pozice: maminka
Reputace:   461 
 

Re: Logaritmické rovnice

Že je výsledkem prázdná množina, jsem zjistila graficky ... ;)
Kaju se... :)


Nejsem učitelka, proto matematiku neučím, ale přímo ji řeším...

Offline

 

#9 15. 07. 2019 22:57

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

Ahoj,
pořád nechápu, jak ses dostal k číslu 5, potažmo k tomu intervalu do 4 do 5.
Jde mi o algebraické řešení, graficky to není problém. Tady je sice výsledek prázdná množina, ale jak to řešit, když v závorkách budou lineární členy s jinými konstantami, aby řešením byla neprázdná množina.
Stále nechápu, k čemu mi bude hledání znamének.
Jsem z toho srna, promiňte. Obecný odkaz na "středoškolské metody" mi moc  nepomůže.
Stále děkuji za pomoc.

Offline

 

#10 15. 07. 2019 23:19 — Editoval misaH (15. 07. 2019 23:23)

misaH
Příspěvky: 11008
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ tony123:

No tak - keď znamienko výrazu naľavo je mínus a napravo je plus, tak rovnosť ťažko nastane, nie? (To by na oboch stranách museli byť nuly...).

Prečo nerozmýšľaš konštruktívne? Stačilo by, keby si za x dosadil napríklad 4,5 a zamyslel sa nad znamienkami tak, ako ti radí Ferdish... Musíš ale samozrejme ovládať základné fakty o logaritmoch...

Svoje otázky klaď predovšetkým sám sebe a až potom fóru...

Offline

 

#11 15. 07. 2019 23:41 Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: kolegyňa rýchlejšia

#12 16. 07. 2019 08:46 — Editoval scirocco (16. 07. 2019 08:48)

scirocco
Místo: Bratislava
Příspěvky: 115
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ tony123:

1.) $x>4$, lebo logaritmus je definovaný pre argument väčší ako 0.

2.) Súčasne ale musí platiť $x>5$, lebo ak by $x\in(4,5\rangle$, tak by sme dostali výraz typu $\frac{(-)}{(+)}.(+)=(+)$, alebo nula na ľavej strane, čo je nemožné, lebo pravá strana je väčšia ako nula.

3.) Rovnicu upravíme na tvar: $\frac{\log_{10}(x-4)}{\log_{10}(x+1)}=\frac{\log_{10}(x+3)}{\log_{10}(x+2)}$

A keďže logaritmus o základe 10 je funkcia rastúca, a v intervale >1 nadobúda len kladné hodnoty, tak máme výraz v tvare: $\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$, kde $A<B$ a $C>D$, teda ľavá stana <1 a pravá >1, teda rovnica nemá riešenie.

Offline

 

#13 16. 07. 2019 09:23

Ferdish
Příspěvky: 1545
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   47 
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ scirocco:
Alebo možno z tvaru 3.) úpravou cez vzorec $\log_{s}r=\frac{\log_{a}r}{\log_{a}s}$ prejsť do tvaru

$\log_{x+1}(x-4)=\log_{x+2}(x+3)$

a odtiaľ z podmienky rovnosti základov a argumentov k sústave dvoch rovníc

$x+1=x+2\\x-4=x+3$

Z tohto je IMO oveľa zreteľnejšie vidieť, že úloha nemá riešenie...

Offline

 

#14 16. 07. 2019 19:08

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ misaH:
Děkuji za podnětné rady.
Dodnes jsem chodil s dutou hlavou, neschopen přemýšlet...
Každý se svými myšlenkami dojde, kam je schopen. A když nemůže dál, požádá o pomoc, asi tak...

Offline

 

#15 16. 07. 2019 19:11

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ Ferdish:
Díky Ferdischi! Tuhle myšlenku jsem hledal. :-)

Offline

 

#16 16. 07. 2019 20:08

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4340
Škola:
Reputace:   107 
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ Ferdish: Mozno mi nieco unika, ale $\log_2 4 =\log_3 9$, ale $2 \ne 3$ a $4 \ne 9$ ...

Offline

 

#17 16. 07. 2019 20:40

tony123
Zelenáč
Příspěvky: 7
Škola: gymnázium
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ vlado_bb:
Tak u Ferdische mne zaujala ta myšlenka převodu na rovnost dvou logaritmů.
Ale celou dobu mi vrtá hlavou jeho implikace, že se musí rovnat základy i logaritmovaná čísla.
Snažil jsem se (marně) to dokázat obecně, až tys to rozsekl tím, žes to vyvrátil protipříkladem. Graficky je to zřejmé, má-li rovnice řešení, lze ho najít pomocí průniku dvou různých logaritmických funkcí.
Takže ti nic neuniklo.

Offline

 

#18 16. 07. 2019 21:01

Ferdish
Příspěvky: 1545
Škola: PF UPJŠ, ÚEF SAV
Pozice: postdok
Reputace:   47 
 

Re: Logaritmické rovnice

↑ vlado_bb:
Hm, máš pravdu, toto naozaj nebola relevantná úvaha...v tom prípade je zrejme jediný možný analytický postup ten od scirocca.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson