Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 08. 07. 2019 15:27

david_svec
Příspěvky: 26
Reputace:   
 

Vyjádření neznámé z faktoriálu

Zdravím,

mám výraz: $\frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}$

mě by zajímalo jakým způsobem vyjádřit neznámou "n". (Jestli je to vůbec možné) :)
Na internetu jsem nic nenašel, tak jsem zkusil substituci nebo jsem položil tento výraz nějakému číslu a poté rovnici zlogaritmoval, ale vždy jsem narazil na spoustu slepých uliček. Tak se Vás ptám, zda je vůbec možné vyjádřit neznámou z faktoriálu aniž bych použil nějaké hardcore vysokoškolské způsoby?

Děkuji za případné rady. :)

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) david_svec)

#2 08. 07. 2019 15:43

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4228
Škola:
Reputace:   104 
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ david_svec: Pises sice o rovnici, ale ziadnu neuvadzas. V rovnici musi byt symbol $=$. Takto je tvoja otazka podobna, ako keby niekto chcel vyjadrit $n$ z vyrazu $n+1$.

Offline

 

#3 08. 07. 2019 16:23 — Editoval david_svec (08. 07. 2019 16:40)

david_svec
Příspěvky: 26
Reputace:   
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ vlado_bb:
Omlouvám se za nepřesné zadání.

$\frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}=0,493$

Takhle má vypadat.

Offline

 

#4 08. 07. 2019 18:25 — Editoval laszky (08. 07. 2019 18:41)

laszky
Příspěvky: 1410
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   112 
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ david_svec:

Ahoj, zrejme jde o to nalezt takove prirozene n, aby uvedena rovnost platila priblizne.
Mozna existuje lepsi reseni, ja bych pouzil odhad $1-x<\mathrm{e}^{-x}=\exp(-x)$, potom

$\frac{365!}{(365-n)!\cdot 365^{n}}=\frac{365\cdot364\cdot363\cdots(365-n+1)}{365^n}=\left(1-\frac{1}{365}\right)\left(1-\frac{2}{365}\right)\cdots\left(1-\frac{n-1}{365}\right)<$
$< \exp\left(-\frac{1}{365}\right)\exp\left(-\frac{2}{365}\right)\cdots\exp\left(-\frac{n-1}{365}\right) = \exp\left(-\frac{n^2-n}{2\cdot365}\right)$

Cislo $n$ tedy musi splnovat $\exp\left(-\frac{n^2-n}{2\cdot365}\right) > 0,493$, neboli

$n^2-n +730\cdot\ln(0,493) <0$.

To by ti mohlo pomoci nalezt $n$ splnujici tvoji "rovnost".

Offline

 

#5 08. 07. 2019 19:05

david_svec
Příspěvky: 26
Reputace:   
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ laszky:

Ano, samozřejmě hledám přirozené číslo pro které bude platit daná rovnost co nejblíže.

Mohl bych se zeptat jak jste přišel na tuto nerovnici/odhad? $1-x<\mathrm{e}^{-x}=\exp(-x)$

Jinak děkuji za odpověď, na tohle bych nepřišel :).

Offline

 

#6 08. 07. 2019 19:19

vlado_bb
Moderátor
Příspěvky: 4228
Škola:
Reputace:   104 
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ david_svec: Nerad zasahujem do cudzej asistencie, ale v tomto letnom obdobi sa ludia prihlasuju zriedkavejsie, takze ↑ laszky: snad bude tolerovat, ak odpoviem namiesto neho: Funkcia $f(x)=e^{-x}$ je konvexna a $y=1-x$ je jej dotycnica v nule. To je dovod uvedenej nerovnosti. Presne povedane, $1-x \le \mathrm{e}^{-x}$, rovnost nastava v nule.

Offline

 

#7 08. 07. 2019 20:18

david_svec
Příspěvky: 26
Reputace:   
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ vlado_bb:

Děkuji za objasnění. Chápu, že přes prázdniny jsou jiné zájmy, a proto Vám oběma děkuji. :)

Offline

 

#8 09. 07. 2019 06:28

Honzc
Příspěvky: 3892
Reputace:   214 
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ david_svec:
I když je úloha vyřešena, nepočítáš náhodou Toto

Offline

 

#9 09. 07. 2019 07:18

david_svec
Příspěvky: 26
Reputace:   
 

Re: Vyjádření neznámé z faktoriálu

↑ Honzc:

Přesně tak. Mě jenom zajímalo pro jaké n lidí bude pravděpodobnost taková a maková. :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson