Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 09. 2009 23:02

check_drummer
Příspěvky: 2685
Reputace:   73 
 

Blízkost mocnin prvočísel

Ahoj,
platí následující hypotéza? Pro libovolná prvočísla p a q existují přirozená čísla k a n tak, že: $|p^k - q^n| <= 2$ a pokud ano, existuje takových k a n nekonečně mnoho?
Pokud věta neplatí, existuje nějaký protipříklad?
Díky


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

#2 25. 09. 2009 00:15

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Blízkost mocnin prvočísel

Trocha úvah:
Ten rozdíl bude nulový pouze tehdy, když bude p=q (to je jasné). Dále bude moct nabývat jedničky pouze tehdy, když bude jedno z prvočísel dvojka. Pokud se bude jednat o dvě různá lichá prvočísla, pak jejich rozdíl (i jejich mocnin) nemůže být menší než 2.

Budeme-li mít 2 prvočísla ve tvaru 6k+1, pak jejich rozdíl (i jejich mocnin) bude nejméně 6, protože umocněním opět vznikne číslo ve tvaru 6k+1. To je protipříklad. Konkrétní takovou dvojicí může být třeba 7 a 13.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#3 25. 09. 2009 00:53

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Blízkost mocnin prvočísel

Nechť  p=2 a q=3. Zřejmě $2^1-3^1=2^3-3^2=-1$ a $2^2-3=1$. Snadno ověříme, že toto jsou pro malá $k$ jediná vyhovující $n$. Pro vyšší k je $2^k\equiv 0\pmod{8}$ a proto $-3^n\in \{1,-1\} \pmod{8}$. Snadno ověříme, že možnost nepřichází v úvahu ani pro lichá ani pro sudá n, druhá možnost projde pouze pro sudá. Naopak uvážením mod 9 dostáváme, že k=3t. Řešíme proto $8^t-9^u=-1$. Nejsem si jistý, jestli je to správná cesta, ale myslím, že jsem někde viděl důkaz, že pro větší k už žádné n nenajdeme, takže check_drummerova hypotéza neplatí.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#4 25. 09. 2009 22:21

check_drummer
Příspěvky: 2685
Reputace:   73 
 

Re: Blízkost mocnin prvočísel

Díky za nápady. A co kdybychom dvojku na pravé straně poněkud pozměnili, např. zkoumaný výraz by měl tvar (při zachování ostatních uvedených podmínek):
$|p^k - q^n| <= d|p-q| + c$
kde úkolem je najít co nejmenší dvojici (d,c) reálných čísel - uspořádání dvojic uvažujeme lexikograficé - aby pro všechna p,q (spolu s platností ostatních podmínek úlohy) platila uvedená nerovnost (resp. uvést množinu dvojic (d,c), pro které nerovnost platí), případně ukázat, že žádná taková (d,c) neexistují.


Jak se nazývá množina shodných disjunktních krychlí?
Ragú

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson