Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 08. 2020 17:11 — Editoval check_drummer (21. 08. 2020 19:04)

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Ahoj,
na základě dřívější diskuse pojďme zkoumat invariantní podprostory lineárního operátoru (z Rn do Rn) daného maticí A. Nechť charakteristický polynom této matice je tvaru $\prod{(x-x_i)^{k_i}} \cdot \prod{((x-y_i) \cdot (x-\bar{y_i}))^{m_i}}$, kde $x_i$ jsou reálné kořeny tohoto polynomu a $y_i$, $\bar{y_i}$ jsou komplexní kořeny tohoto polynomu (s každým takovým je jeho kořen i komplexně sdružený.
Vlastní vektor příslušný k vlastnímu číslu $x_i$, $y_i$, $\bar{y_i}$ označme jako $u_i$, $v_i$, $w_i$. Vlastní vektory $v_i$, $w_i$ ovšem mohou obsahovat komplexní souřadnice.

Hledejme, jak zsískat "elementární" invariantní pdoprostory a jak z existujících invariantních podprostorů konstruovat další.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#2 21. 08. 2020 17:14 — Editoval check_drummer (22. 08. 2020 10:41)

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Do této zprávy budu zapisovat průběžné výsledky, protože hlavní téma má prý omezenou možnost editace.
Označme jako $<M>$ lineární obal množiny M, tj. nejmenší podprostor obsahující M. Jako $<M,N>$ označme lineární obal množiny $M \bigcup N$. Pro a,b,.. vektory označme Jako $<a,b,..>$ lineární obal množiny {a,b,..}.


1) $<u_i>$ jsou invariantní podprostory
2) Jsou-li P,Q invariantní prostory, pak i <P,Q> je invariantní podprostor. Tedy pomocí tohoto bodu lze generovat další invariantní podprostory z již sestrojených. Toto nebudu explicitně uvádět. Ale poté co nalezneme všechny "elementární" invariantní podprostory, tak apliakcí tohoto bodu (i opakovaně) získáme další.
3) Lze sestrojit dvě lineární kombinace vektorů $v_i$, $w_i$ a získat tak dva reálné vektory, označme je $p_i$, $q_i$. Potom je $<p_i,q_i>$ invariantní podprostor. (Viz laszky #3.)


Otevřené body:
1) Lze nějak využít násobnost vlastního čísla ke konstrukci dalších invariantních podprostorů?
2) Lze kombinovat vlastní vektory $v_i$, $v_j$ a získat pomocí nich další invariantní podprostor?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#3 22. 08. 2020 01:51 — Editoval laszky (22. 08. 2020 02:19)

laszky
Příspěvky: 1913
Škola: MFF UK, FJFI CVUT
Reputace:   161 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ check_drummer:

Ahoj, pokud je matice $A$ realna a $Au=\lambda u$, potom je

$A\overline{u}=\overline{Au}=\overline{\lambda u} = \overline{\lambda}\overline{u}$

Protoze je ale:

$
 \mathrm{Re}\,u \; = \; \frac{1}{2}\,u+\frac{1}{2}\,\overline{u}
$
$
 \mathrm{Im}\,u \; = \; \frac{1}{2i}\,u-\frac{1}{2i}\,\overline{u},
$

plati

$
\langle u,\,\overline{u} \rangle \; = \;  \langle \mathrm{Re}\,u,\,\mathrm{Im}\,u \rangle.
$

Offline

 

#4 22. 08. 2020 14:12 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Zbytocne

#5 22. 08. 2020 14:23 — Editoval vanok (22. 08. 2020 14:24)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Ako rozlisujes pojem stabileho a invariabtneho podpriestoru?
Je to pre teba takto?
Pre endomorfismus f, pospriestor F je stabilny ak $f(F) \subseteq F $.
A  F je invariabilny ak $f(F)  = F $.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#6 22. 08. 2020 15:49 — Editoval vanok (22. 08. 2020 16:42)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Ahoj ↑ check_drummer:,
Zda sa mi, ze uplne vseobecne mame tieto vlasnosti. 
Mnozina vsetkych podpriestorov daneho vektoroveho priestoru je Svaz ( pozri  na  wikipediu po fr treillis ; po angl lattice). 
A take ista vlasnost plati pre stabilne podpriestory.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#7 23. 08. 2020 09:56

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ vanok:
Ahoj, já bych vyšetřoval jen případy, kdy je A regulární, a tam si myslím, že bude platit, že z $f(F) \subseteq F $ plyne $f(F)  = F $ nebo ne?


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#8 23. 08. 2020 11:19 — Editoval vanok (29. 08. 2020 04:25)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ check_drummer:,↑ laszky:,
Pozdravujem,
Oznacme vektorovy priestor na ktorom pracujeme E.
Uvazujme $\lambda$ komlexnu  vlastnu hodnotu endomorfismu u.
Ak $\lambda \in \Bbb R$ tak mame stabilny priamku .
Tak predpokladajme, ze $\lambda$ je komplexne non realne a ze vyberieme taku bazu priestoru E, ze u moze byt reprezentovane realnou maticou A a pracujme z vektormy v $\Bbb C^n$.
Nech $V$ je vlastny vektor matice A pre vlastnu hodnotu.  $\lambda=a+ib $. (a,b realne). 
Akoze A je realna, mozme odddelit realnu a imaginarnu cast v $AV=\lambda V$ kde $V=X+iY$ :
$AX+iAY=aX-bY+i(bX+aY )$.
Ak $X,Y$ su kolinearne, tak $X$ , $Y$ Su vlastne vektory matice $A$ a $V$ by bol realny ...co je spor. 
Tak $ X$ , $Y$ generuju stabilnu rovinu pre $A$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#9 28. 08. 2020 19:48

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

No su aj ine otazky, co si mozeme polozit vo vseobecnej situacii.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#10 29. 08. 2020 01:58

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Ahoj, z čeho plyne prosím toto:

vanok napsal(a):

Ak $X,Y$ su kolinearne, tak $X$ , $Y$ Su vlastne vektory matice $A$ a $V$ by bol realny.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#11 29. 08. 2020 04:24 — Editoval vanok (29. 08. 2020 04:30)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ check_drummer:,
Pozdravujem, vsak predpokladaj, ze $Y=cX$  ( $X,Y$ su pochopitelne nenulove realne vektory a tiez c nenulove realne cislo) a vtedy ti $AX+iAY=aX-bY+i(bX+aY )$
cize

$AX=aX-bY$
$AY=bX+aY$

da $b=0$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#12 29. 08. 2020 04:59

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ check_drummer:,
Co sa tyka #5, lahko najdes priklady kde plati $f(F) \subset F $
( napr projekcie ....)


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#13 29. 08. 2020 09:51 — Editoval check_drummer (29. 08. 2020 11:20)

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ vanok:
Ahoj, první rovnost jsem vynásobil c, sečetl a vyšlo mi - oprava: $b(1+c^2)X=0$, takže musí opravdu být b=0, tak je to ok.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#14 29. 08. 2020 09:51

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ vanok:
To ano, ale já jsem potom psal, že by asi stačilo uvažovat případy, kdy A je regulární.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#15 29. 08. 2020 13:13

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ check_drummer:
Pozdravujem.
Zda sa mi, ze je uzitocne sa venovat  tejto teme co najvsebecnejsom ramci. 
( tak napr. sa limitovat len na u take, ze Ker u ={0} je potom velmi neuplne...).
Ta ista poznamka pre priestory Rn, je o mnoho zaujimavejsie a umiestnit priestorov Kn ( komutativne teleso =pole ).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#16 30. 08. 2020 01:52 — Editoval vanok (30. 08. 2020 01:53)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Tato veta je znama:
Nech $u$ a $v$ su endomorfismy priestoru $E$ take ze $uv=vu$ ( cize komutuju) potom jadro a obraz endomorfismu v (Ker(v); Im(v)  ) su stabilne pre u.
Iste vidis ako to dokazat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#17 30. 08. 2020 15:35 — Editoval check_drummer (30. 08. 2020 15:36)

check_drummer
Příspěvky: 3065
Reputace:   80 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ vanok:
Pokud není A regulární, tak pro f zobrazení odpovídající matici A by stačilo uvažovat namísto E vektorový prostor f(E). Podle mě už na f(E) bude restrikce A regulární.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#18 30. 08. 2020 15:37 — Editoval vanok (30. 08. 2020 16:12)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Dalsia vlasnost, dana ako cvicenie. 
Najprv jedna definicia.

Def. Podpriestor stable E jedneho endomorfismu sa vola ireduktibilny, ak jeho jediinnne stabilne podpriestory su E a {0}. 

Cvicenie. 
Nech E=R3 a (e1;e2;e3)  jedna baza.
Nech je dany endomorfismus u, taky, ze
u(e1) = e2; u(e2) = e3 ;u(e3) = e(1).

Urcite $u^3$. Vyuzite to na najdenie jeho  jedinneho stabilneho podpriestoru dimensie 1. 

Ukazte,  ze u ma jedinny stabilny podpriestor dimenzie 2, ktory je irreduktibiny.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#19 31. 08. 2020 02:04 — Editoval vanok (11. 09. 2020 23:06)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Ahoj ↑ check_drummer:,
Co sa tyka #17.
To aby bola A regulana nie je podstatne. 
Tu mas jednoduche cvicenie, ktore ta o tom presveci. 
Uvazuj realnu maticu 3x3
$A= \begin {pmatrix}
1&1&1\\
1&1&1\\
-1&1&1
\end {pmatrix}$
a najdi stabilne podlpriestory endomorfismu u matice A (v kanonckej baze).

Kontrola


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#20 01. 09. 2020 19:52 — Editoval vanok (01. 09. 2020 19:58)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Cvicenie z #18.  (Prva cast)
Vidime, endomorfismus u realizuje cyclicku permutaciu na (e1;e2;e3) a tak $u^3=id_E$.
Kazdy stabilny podpriestor dimezii 1, je vlastny podpriestor.  Ak nenulove $x$ je v takom podpriestore, tak $u(x)=\lambda x$ , co da $u^3(x)={\lambda}^3x=x$
Tu pracujeme v R, co da $\lambda = 1$.
A tak najprv hladajme pevne vektoru pre $ u$ a tak vidime, ze stabilny podpriestor  endomorfismu $u$ dimenzie 1 je $<e_1+e_2+e_3>$.
( tuto poslednu cast nechame ukazat, podrobne, citatelom).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#21 05. 09. 2020 18:09

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Cvicenie z #18 (druha cast)
Endomorfismus $u$ je bijektivny, a tak stabilny podpriestor dimenzie 2 ma bijektivne ten isty obraz ( endomorfismom $u$ ).
Podpriestor rovnice $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ ma obraz $a_1x_2+a_2x_3+a_3x_1=0$.
Tieto dve roviny su identicke ak dva ortogonalne vektory na kazdu z tychto rovin su kolinearne, co vyzaduje $a_ 1=\lambda a_3; a_2=\lambda a_1;a_3 =\lambda a_1$. Cize $\lambda =1$.  A tak ide o rovinu $x_1+x_2+x_3=0$   
( co je podpriestor dim 2 priestoru E). 
Tento nema ako podpriestor stabilny podpriestor  dimenzie 1, najdeny v prvej casti tohto cvicenia.  Tak ide o irreduktibilny podpriestor, oznacme ho $E_1$
Doplnkova otazka.
Najdite polynom ( minimalneho stupna  ) , ktory anuluje kazdy prvok z $E_1$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#22 06. 09. 2020 16:15 — Editoval vanok (11. 09. 2020 21:40)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

↑ vanok:,
Cvicenie z #18, doplnok.
Najprv konstatujeme, enomorfismus u, redukovany na $E_1$  oznaceny $u_1$ je taky, ze pochopitelne $id_{E_1};u_1;u_1^2$ su linearne zavisle    a najdime relaciu tejto zavislosti. 
Pre vektor $x=(x_1;x_2;x_3) $ mame $u(x)=(x_3;x_1;x_2$ a $u^2(x)=(x_2;x_3;x_1)$. Co da $x+u(x)+u^2(x)=0$ ako aj $u_1^2+u_1+id_{E_1}=0$
( vlastne sme vybrali generator polynomov z hlavovym koeficintom 1 ktory generuje vsetki polynomy anulatory, ktory sa vola minimalny polynom).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#23 17. 09. 2020 19:50 — Editoval vanok (18. 09. 2020 21:53)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Teraz, tu pridam uzitocne vlasnosti (  vo forme cviceni) tykajuce sa jadra endomorfismov. 

Ako prve  dokazte

A) Nech $u$ je endomorfismus priestoru $E$.
Postupnost $( \ker u^p)_{p\in \Bbb N}$ je stupajuca :$ \ker u^p \subset \ker u ^{p+1}$.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#24 18. 09. 2020 21:52

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Navod na riesenie vlasnosti A) z #23.

Staci konstatovat, ze $u^p(x)=0$ da $u^{p+1}(x)=u(u^p(x))=0$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#25 19. 09. 2020 17:30 — Editoval vanok (21. 09. 2020 15:34)

vanok
Příspěvky: 14118
Reputace:   739 
 

Re: Invariantní podprostory lineárního operátoru - obecný případ

Pokracovanie #23.
Ak mnozina $\{p\in \Bbb N| \ker u^p= \ker u^{p+1} \}$ nie je prazdna, tak ma najmensi prvok $n$.  Ktory sa vola index endomorfismu u.
A vtedy
B) $\forall q \in \Bbb N , \ker u^{ n+q}= \ker u^n$
a tiez
Pre kazde $q= 0;1;...n-1 , \ker u^{q+1}\neq \ker u^q$
Dokazte.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson