Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 18. 10. 2020 10:59

Proch
Zelenáč
Příspěvky: 17
Škola: GBN
Pozice: Student
Reputace:   
 

Nekonečné řady a jejich konvergence/divergence

Dobrý den,
narazil jsem narazil jsem na zajímavou úlohu, kdy mám rozhodnout o konvergenci nebo divergenci řady, ale nevím jak výpočet dokončit pro a<0 a a=2
$\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2^{k}}{k+a^{k}}$
Řekl jsem si že by se tu nechalo použít D'Alamberovo kritérium pokud a>0
Z toho mi vyšlo
$\lim_{k\to\infty }\frac{2^{k+1}}{k+1+a^{k+1}}*\frac{k+a^{k}}{2_{k}}=\lim_{k\to\infty }\frac{2k+2a^{k}}{k+1+a^{k+1}}=\lim_{k\to\infty }2*\frac{a^{k}}{a^{k}}*\frac{\frac{k}{a^{k}}+1}{\frac{k}{a^{k}}+\frac{1}{a^{k}}+a}=\lim_{k\to\infty }2*1*\frac{1}{a}=\frac{2}{a}$
Z toho mi tedy plyne, že pokud
2/a<1 --> tak řada konverguje, tedy konverguje v intervalu (2; $\infty $)
2/a>1 --> tak řada diverguje, tedy diverguje v intervalu (0; 2)
měl bych dál ošetřit případ pro 0
pro 0 tedy platí
a=0 $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2^{k}}{k}$
použiju srovnávací kritérium
$0\le a_{k}\le \frac{2^{k}}{k}$
aplikuji znova D'A kritérium
$\frac{2^{k+1}}{k+1}*\frac{k}{2^{k}}=\frac{2k}{k+1}=l\lim_{k\to\infty }\frac{k}{k}*\frac{2}{1+\frac{1}{k}}=2$ z toho mi plyne, že řada diverguje

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Proch)

#2 18. 10. 2020 14:28

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: Nekonečné řady a jejich konvergence/divergence

Jdes na to zbytecne slozite. Nutna podminka konvergence rady je, ze cleny konveruji k nule. Protoze $k$ je asymptoticky zanedbatelne vzhledem k $2^k$, okamzite dostavas ze nutne $|a|>2$. Konvergence pak plyne ze srovnavaciho kriteria, protoze $2^k>k$ pro dostatecne velke $k$.

Offline

 

#3 19. 10. 2020 16:58

Proch
Zelenáč
Příspěvky: 17
Škola: GBN
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Nekonečné řady a jejich konvergence/divergence

Děkuji, mělo mě to napadnout.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson