Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 19. 10. 2020 22:30 — Editoval hcetefil (19. 10. 2020 23:13)

hcetefil
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Dukaz divergence rady

Mam radu: $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k+\sqrt{k}}$

a je mi jasne ze diverguje, ale ako to mam dokazat?
Nutna podminka konvergence je splnena, d'alambertovo kriterium nelze pouzit.
Z toho co se ucime zustalo uz jenom srovnavaci kriterium.

Neumim dokazat ani divergenci  $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$, ani konvergenci  $\sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{2}}$. Jako mam takove rady resit?

Offline

 

#2 19. 10. 2020 22:49 — Editoval krakonoš (19. 10. 2020 22:50)

krakonoš
Příspěvky: 1079
Reputace:   32 
 

Re: Dukaz divergence rady

↑ hcetefil[/re[re]p613853:Integralni kriterium


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#3 19. 10. 2020 22:58

hcetefil
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Re: Dukaz divergence rady

↑ krakonoš:

Dekuji za tip. Ale derivace/integraly jsme jeste nebrali a nemeli by jsme ich pouzivat k vypoctu.

Offline

 

#4 19. 10. 2020 23:35

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3195
Reputace:   90 
 

Re: Dukaz divergence rady

Divergenci harmonické řady (1/k) bys asi dokazovat nemusel, je to všeobecně známé...ale co si vzpomínám (už je to let) spočíval důkaz asi na následující úvaze:

Nechť Sn je součet prvních n prvků řady, a S2n je součet dalších n prvků...

Takže

$S_n = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$

$S_{2n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + ... + \frac{1}{2n}$

Když se podíváš na ten součet S2n, je zřejmé, že je určitě větší než $S_{2n} >n \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$,
protože poslední člen je nejmenší, a ty před ním jsou větší, takže součet těch n členů bude určitě větší než n-krát ten poslední.

A nezávisí to na volbě n, dokonce i když bude n blízké nekonečnu, bude pořád S2n > 1/2.

Což je v rozporu z požadavkem na konvergenci ... totiž, že součet celého zbytku řady od n-tého členu dál se musí pro velká n blížit nule.

Offline

 

#5 19. 10. 2020 23:49 Příspěvek uživatele Pomeranc byl skryt uživatelem Pomeranc.

#6 20. 10. 2020 10:30

hcetefil
Příspěvky: 55
Reputace:   
 

Re: Dukaz divergence rady

↑ krakonoš: ↑ MichalAld:

Dozvedel jsem se ze naozaj harmonicku radu nemusime dokazovat. Ale dekuji za vysvetleni.

Offline

 

#7 20. 10. 2020 10:34

misaH
Příspěvky: 12694
 

Re: Dukaz divergence rady

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson