Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 20. 10. 2020 20:44

Sikys
Příspěvky: 34
Škola: PF UK, IES FSV UK
Pozice: Student
Reputace:   
 

Matematická indukce - nerovnice

Zdravím,

potřebuji pomoc s důkazem následující nerovnicí

$n^{n+1}\gg (n+1)^{n}$ (předpokládám, že pro n>2)

pro n=3 to platí ($3^{4}\gg 4^{3}$)

Po indukčním kroku jsem skončil na
$n(n^{n+1})\gg (n+2)(n+2)^{n}$

vůbec nevím, jak dál.

Děkuji za rady.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) Sikys)

#2 20. 10. 2020 23:12 — Editoval david_svec (20. 10. 2020 23:12)

david_svec
Příspěvky: 322
Škola: PřF UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ Sikys:

Zdravím,

a tohle bys zvládl dokázat? $n> \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}$

Offline

 

#3 21. 10. 2020 01:25

Sikys
Příspěvky: 34
Škola: PF UK, IES FSV UK
Pozice: Student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ david_svec:

Po indukčním kroku

$n+1> (1+\frac{1}{n+1})^{n}(1+\frac{1}{n+1})$

Ale pořád nechápu, jak udělat ten další krok (je to to samý, jako u původního příkladu). Roznásobovat je zbytečné (?), rozdělit si to na dvě nerovnice (předpoklad a zbytek) také. Potřebuji ještě trochu napovědět.
Chápu správně, že v nerovnicích se nikam nic nedosazuje (jako u rovnic, kde z předpokladu většinou dosazuješ), ale pouze se členy upravují?

Díky!

Offline

 

#4 21. 10. 2020 08:13 — Editoval david_svec (21. 10. 2020 08:20)

david_svec
Příspěvky: 322
Škola: PřF UPOL
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: Matematická indukce - nerovnice

↑ Sikys:

Využij toho, že $\Big(1+\frac{1}{n+1}\Big)^{n+1}<\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n+1}=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\cdot \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{1}$

Když předpokládáme, že platí toto: $n> \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}$, tak platí i tohle: $n\cdot\Big(1+\frac{1}{n}\Big) > \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^{n}\cdot \Big(1+\frac{1}{n}\Big)$. Využij toho.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson