Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 10. 2020 11:22

retlif
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

rotace vektorového pole v pocatku

Dobry den,

urcila jsem rotaci vektorového pole
$\mathbf{F}=\left(\displaystyle\frac{-y}{x^2 + y^2},\,\displaystyle\frac{x}{x^2 + y^2},\,0\right)$
jako
$\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = \left(0,\,0,\,\displaystyle\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}-\frac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}\right)$.

Je celkem zrejme, ze je rotace skoro vsude nulova, kdyz jsem ale chtela spocitat hodnotu v $0$, kde bych cekala, ze bude nenulová a dokonce ze prislusna limita bude divergovat, narazila jsem a nedokazu ji urcit.

Kdybych presla do polarniho tvaru $(x^2+y^2)^2 = r^4$ dostavam vztahy, ze kterych si nedokazu vysvetlit ze limita existuje.

Vim ze je to asi trivialni zalezitost, ale mohl by mi prosim nekdo ukazat jak takovou limitu co nejvic ekonomicky resit?

Offline

 

#2 24. 10. 2020 12:59 — Editoval Bati (24. 10. 2020 13:07)

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

↑ retlif:

Samotna funkce F ma v nule celkem vyznamnou singularitu, ktera se aplikaci rot jeste zesili, takze pochybuju, ze prislusna limita bude existovat.

Jeste existuje ponekud obecnejsi definice rotace, viz prvni vzorec v
https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)
Kdyz vezmes za krivky kruznice, mozna by mohlo neco vyjit.

Offline

 

#3 24. 10. 2020 16:02 — Editoval MichalAld (24. 10. 2020 16:07)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

Pokud je cirkuace té funkce (křivkový integrál) nenulový pro každou křivku, která bod 0 obkružuje, a rotace té funkce je všude nulová, potom bude v tom bodě nula něco jako Diracova funkce.

Není to ovšem "obyčejná funkce", krom toho, že v bodě nula má nespojitost - nekonečnou velikost - tak integrál přes tuhle funkci dává jedničku (nebo obecně nějakou hodnotu). To "normální funkce" nedokáže, nějaké nespojitosti v jednom bodě nemají na hodnotu jejího integrálu vliv.

Ale jinak si to můžeš představit jako velmi úzký a velmi vysoký "impulz" (nevím, jestli se tohle slovo v matematicke používá) - s tím, že jeho plocha (objem, atd) zůstává stále jednotkový.

Offline

 

#4 24. 10. 2020 16:07

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

V klasickém smyslu samozřejmě rotace této funkce v počátku neexistuje.

Offline

 

#5 24. 10. 2020 16:15

retlif
Zelenáč
Příspěvky: 2
Reputace:   
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

↑ MichalAld:Diky, Diracoovy delta distribuce pravidelne pouzivame v teorii signalu a linearnich systemu. Tohle pole by melo popisovat (az na skalovani) virove pole intenzity $\mathbf{H}$ od nekonecne dlouheho a nekonecne tenkeho vodice (tedy protekaneho nekonecnou proudovou hustotou $\mathbf{j}$). Ve smyslu Ameprova zakona jsem chtela tou limitou dostat proudovou hustotu $\mathbf{j}$ s nekonecnou velikosti.

Offline

 

#6 24. 10. 2020 20:23

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

↑ MichalAld:
v matematice se pouziva slovo distribuce, ale Diracovo delta taky zname

Offline

 

#7 25. 10. 2020 00:13

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

↑ retlif:

Jo, říkal jsem si, že by to mohlo být magnetické pole kolem vodiče. A ano, pokud bude vodič nekonečně tenký, tak tam ta rotace v klasickém smyslu neexistuje a je tam singularita.

A singularity jsou zrádné ... v gravitačním poli takhle z jedné singularity a ničeho kolem vznikne černá díra...


U magnetického pole nás to nemusí moc trápit, protože nekonečně tenký vodič je jen představa, co nám zjednodušuje život ... v reálu je vždy konečné velikosti.


Zase je tam legrační problém, když vodič protékaný proudem zabírá celý prostor....protože pak zjistíme, že takové magnetické pole, jež by proud tekoucí celým prostorem vytvářel, nedokážeme zkonstruovat...

A dají se vymyslet i jednodušší případy proudů, které mag. pole nevytvářejí. Za mag. pole může z velké části to, že vodič má svoji hranici...

Offline

 

#8 25. 10. 2020 00:14

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3179
Reputace:   90 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

↑ Bati:
Já vím, ale jak nazýváte funkci, která není Diracovo delta, jen se mu velmi podobá ?

Offline

 

#9 25. 10. 2020 00:41

Bati
Příspěvky: 2290
Reputace:   180 
 

Re: rotace vektorového pole v pocatku

↑ MichalAld:
Aproximativni jednotka (approximate one). Jednotka proto, ze v limite se to chova jako jednotkovy element vzhledem ke konvoluci. V analyze jsem ale tohle nazvoslovi moc pouzivat nevidel - byva lepsi vzit explicitne $k^d\phi(kx)$, kde $\phi$ je libovolna hladka s kompaktnim nosicem a jednotkovym integralem (tj. zhlazovaci jadro).

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson