Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
! 2.11.2020 (L) Vykreslete si svůj první matematický výraz přes MathJax!
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 21. 05. 2021 20:21 — Editoval vanok (25. 05. 2021 17:02)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Pythagoras-ova rovnica

Tato tema je pokus odpovede kolegovy ↑↑ MichalAld: na tuto otazku:
Mě by pro začátek stačilo, kdybych pochopil, jak se řeší ty rovnice typu
[mathjax]x^2+y^2=z^2[/mathjax] .
Tak budem hladat jej  nenulove riesenia v mnozine nenulovych celych  cisiel. ( to sa da aj vyjadrit takto: budem hladat take riesenia x, y, z danej rovnice, ze [mathjax]xyz \ne 0[/mathjax] ).

Dam tu dve ( jednoduche  ) riesenia danej rovnice.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#2 24. 05. 2021 23:13

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Aby to bylo ještě letos...

Offline

 

#3 25. 05. 2021 18:25

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Pozdravujem ↑ MichalAld:.

Prva metoda.
Mozeme toto riesenie rozdelit na tri etapy. 

A: staci vyriesit problem, pre  cele cisla x,y,z ktore su navzajom nesudelitelne.

B: uvazujme  (x,y,z) je riesenie, kde x,y,z su navzajom nesudelitelne, tak
a) x, y nemozu byt naraz parne
b) x,y nemozu byt naraz neparne
c) ak predpokladame, ze x je neparne a y parne, tak existuje 2 cele cisla nesudelitelne u a v take, ze x=u-v a y=u+v ktore su stvorce, alebo minus stvorce ( napr. 9 alebo -9 ).
Vyuzite to na urcenie riesenia (x,y,z) ( navzajom nesudelitelne) danej rovnice z #1, take, ze x neparne a y parne. 

C: vyuzite A a B  na urcenie vsetkych celych rieseni danej rovnice. 

A teraz treba vsetko, co je vyssie, podrobne dokazat.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#4 25. 05. 2021 19:38 — Editoval Honzc (25. 05. 2021 19:49)

Honzc
Příspěvky: 4187
Reputace:   230 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

↑ vanok:
A co takto?
[mathjax]x^{2}+y^{2}=z^{2}[/mathjax]
[mathjax]x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z+y)(z-y)[/mathjax]
Označme [mathjax](z-y)=k\Rightarrow z+y=2y+k[/mathjax]
[mathjax]x<y(<z);x,y,z,k\in N[/mathjax]
Volíme k=1,2,...
Volíme x>2k tak aby [mathjax]x\equiv  0\;mod\;k[/mathjax]
Pak [mathjax]y=\frac{(x+k)(x-k)}{2k}[/mathjax]
pro k liché musí být x také liché.
z=y+k

Offline

 

#5 25. 05. 2021 22:20

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Ahoj ↑ Honzc:,
Navrh riesenia da riesenie celeho problemu. 
Najprv ho ukoncim.
Potom mozes aj  ty dat komplrtne riesenie.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#6 25. 05. 2021 22:34

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Tak teraz riesenie casti A   z #2
Si (x,y,z) je cele riesenie rivnice z #1.
Staci delit kazde cislo x,y,z ich najvzädcim spolocnym delitelom d.
Potom (x/d, y/d, z/d) je tiez riesene rovnice rovnice z #1 ( a tieto cidla su navzajom nesudelitelne).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#7 25. 05. 2021 22:48 — Editoval vanok (26. 05. 2021 11:20)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Tu teraz dam riesenie cadti B.

a) tu sa da urobit dokaz sporom. 
Predokladam, ze (x,y,z) je riesenie rovninice
Ak x a y su parne tak aj $x^2$ aj $y^2$ su parne a tak aj $z^2=x^2+y^2$ je parne a tak aj $z$ je parne. 
A to je spor, z prepokladom ze x,y, z du nesudelitelne. 

To dokazuje a). 

b) na pokracovanie…….


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 26. 05. 2021 13:40

Richard Tuček
Místo: Liberec
Příspěvky: 417
Reputace:   
Web
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Nalézt tzv. Pythagorejská čísla lze také takto:
Zvolme si čísla a,b
Položme: x=2ab; y=abs(a^2 - b^2);  z=a^2 + b^2
a máme Pyth. čísla.

Offline

 

#9 26. 05. 2021 19:10

check_drummer
Příspěvky: 3227
Reputace:   90 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

↑ Richard Tuček:
Ahoj, je ovšem potřeba dokázat, že tímto postupem sestrojíme všechna.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#10 26. 05. 2021 21:08

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Ještě mi prosím někdo vysvětlete, co je tady dohle:
[mathjax]x\equiv  0\;mod\;k[/mathjax]

(vím, že mod je zbytek po celočíselném dělení...)

Offline

 

#11 27. 05. 2021 00:39 — Editoval vanok (27. 05. 2021 01:36)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Co pises, je dobra definicia .
To znamena ze tvoj zapis znamena, ze x ( x cele cislo) musi byt nasobok cisla k.  Priklad, [mathjax]x\equiv  0\;mod\;4[/mathjax], ktore vyhovuju su prvky mnoziny {…;-8;-4;0;4;8;…}.

A tak to pouzijem tento pojem na dokaz b) z #3. 
Stale  predpokladam, ze (x,y,z) je riesenie rovnice z ##1.
Ak x, y su neparne , tak cize [mathjax]x \equiv 1 \;mod\;2[/mathjax] a [mathjax]y \equiv 1 \;mod\;2[/mathjax] ,a tak [mathjax]x^2 \equiv 1 \;mod\;4[/mathjax] a tiez [mathjax]y^2 \equiv 1 \;mod\;4[/mathjax], co nam da [mathjax]z^2 \equiv 2 \;mod\;4[/mathjax] (*).
A tiez mame, akoze $z^2$ je parne tak aj $z$ je parne,  preto [mathjax]z^2 \equiv 0 \;mod\;4[/mathjax].  (**)
No vsak (*) a (**) su protikladne, cize taketo x,y,z nemozu byt riesenie rovnice z #1.
c) na pokracovanie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 27. 05. 2021 15:07

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

vanok napsal(a):

Stale  predpokladam, ze (x,y,z) je riesenie rovnice z ##1.
Ak x, y su neparne , tak cize [mathjax]x \equiv 1 \;mod\;2[/mathjax] a [mathjax]y \equiv 1 \;mod\;2[/mathjax] ,a tak [mathjax]x^2 \equiv 1 \;mod\;4[/mathjax] a tiez [mathjax]y^2 \equiv 1 \;mod\;4[/mathjax], co nam da [mathjax]z^2 \equiv 2 \;mod\;4[/mathjax] (*).

To platí jen pro tenhle případ, nebo nějak obecně?

Jinak rozumím, že když je x,y liché (neparne), tak že

[mathjax]x = 2a+1[/mathjax]
[mathjax]x^2 = (2a+1)^2 = 4a^2+4a + 1=4(a^2+a)+1[/mathjax]

a to samé pro y, takže

[mathjax]x^2 + y^2=4(a^2+a)+1 + 4(b^2+b) + 1 = 4c + 2[/mathjax]

a to nemůže být druhá mocnina celého čísla (ať už bude c jakékoliv).

Offline

 

#13 27. 05. 2021 15:20

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Ahoj ↑ MichalAld:,
Vyborne.
Ano aj to staci, v takejto situacii, aby si dokazal, ze take x, y ( x,y su tu neparne) nemozu byt riesenie rovnice z #1. 
(A vidis, nemusis to ani vyjadrit vdaka pojmu  modulo ….)

Cast dokazu c) napisem tu, dufam, dnes vecer.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 27. 05. 2021 17:28

check_drummer
Příspěvky: 3227
Reputace:   90 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

↑ MichalAld:
Ahoj, x=y (mod m) definujeme tak, že m dělí x-y, tj. je to tvrzení nikoli hodnota nějaké funkce.


Popelka - pohádka o neprosté funkci nabývající minima v jediném bodě

Offline

 

#15 27. 05. 2021 22:04 — Editoval vanok (02. 06. 2021 23:06)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Tak, teraz, dam tu dokaz  z #3 B c).

Ak x je neparne cele cislo a y parne tak z je neparne ( lebo [mathjax]z \equiv z^2 \equiv x^2+y^2 \equiv x+y\equiv 1[/mathjax] [mathjax](\;mod\;2)[/mathjax] ).
Akoze tu x a aj z su neparne tak z+x a aj z-x su parne; preto existuju dve cele cisla u,v take ze :
z+x=2u
z-x=2v
Cize
x=u-v
z=u+v .
u,v su nesudelitelne ( inac by prvocislo p by bol ich spolocny delitel, p by delilo [mathjax]y^2=z^2-x^2 [/mathjax] ako aj y …. co je absurdne).
Tiez mam [mathjax]y^2=z^2-x^2 = (u+v)^2-(u-v)^2=4uv[/mathjax]
co da, ze u aj v ( alebo -u a aj -v) su dokonale stvorce.
( podrobnejsie y =2y’ a preto [mathjax]y{\prime}^2=uv[/mathjax] vsak zakladnej vete aritmetiky (= Jednoznacny rozklad) a tomu, ze u,v su nesudelitelne).
To da, ze [mathjax](u,v)=(u^{*2},v^{*2})[/mathjax] alebo [mathjax](u,v)=(-u^{*2},-v^{*2})[/mathjax].

Zaver:

Z toho vypliva, ze ak (x,y,z) je jedno riesenie rovnice z #1 z x,y,z navzajom nesudelitelne a take, ze x je neparne a y parne,   tak existuju dve cele cisla $u^*;v^*$, nesudelitelne take, ze [mathjax](x,y,z)=(u^{*2}-v^{*2},2u^*v^*,\pm (u^{*2}+v^{*2})) [/mathjax].


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 30. 05. 2021 00:04 — Editoval vanok (03. 06. 2021 10:29)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Riesenie bodu C).
Vdaka predoslym bodom je jasne, ze vseobecne riesenie rovnice z #1 su:
(trivialne riesenia)
[mathjax](0; n;  n)[/mathjax] alebo [mathjax](n;0;  n)[/mathjax] kde n je lubovolne cele cislo,
a take,ze [mathjax](x;y;z)=(d(u^{*2}-v^{*2});2du^{*2} v^{*2}; \pm d(u^{*2}+ v^{*2}))[/mathjax] alebo aj [mathjax](x;y;z)=(2du^{*2} v^{*2};d(u^{*2}-v^{*2}); \pm d(u^{*2}+ v^{*2}))[/mathjax] kde [mathjax]u^*;v^*[/mathjax] su nesudelitelne ( cize ich nejvädci spolocny delitel je 1) a kde d je nenulove cele cislo a [mathjax]\pm [/mathjax] je take znamienko ako znamienko vyrazu [mathjax]u^{*2}-v^{*2}[/mathjax].


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#17 30. 05. 2021 00:11

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Druhe riesenie.
Tu budem hladat vsetki rationalne riesenia rovnice [mathjax]x^2+y^2=1[/mathjax] a na koniec dokazem, ze vdaka tomu sa da vyriesit rovnica z #1.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#18 03. 06. 2021 20:18 — Editoval vanok (04. 06. 2021 04:15)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Tu dam riesenie rovnice z #17, vdaka tymto troch casti:
D) Najprv overme, ze rovnica z#17 vedie k rieseniu rovnice z#1.
Nech $C$ je kruznica rocnice [mathjax]x^2+y^2=1[/mathjax] ( v rovine z ortogonalnym reperom).
A nech $D_t$ Ma rovnicu [mathjax]y=tx-1[/mathjax] ( v tom istom repery ako C )
Tato priamka prechadza cez bod suradnic [mathjax](0,-1)[/mathjax] ( ktory je aj na C).
Bod roviny je racionnalny, ak ma racionnalne suradnice .
E)Najdime aj druhy bod $D_t \cap C$.
F) Tu uvazujme kruznicu $C^*$ ktorej stred je racionalny bod roviny a takej, ze ma racionalny polomer.
Tiez uvazujme priamku $D^*$ rovnice [mathjax]ax+by+c=0[/mathjax] taku, ze prechadza cez racionalny bod [mathjax]M_0(x_0;y_0) \in C^*[/mathjax].
A odpovedzme na tieto tri otazky
a) ak a,b,c su racionalne, tak druhy bod z [mathjax]D^* \cap C^*[/mathjax] je tiez racionalny. 
b) dokazte reciprocnu vetu vety a)
c) vdaka a) , b)  najdite racionalne riesenia rovnice z#17.
A na koniec
G) vyuzite D), E), F), G) na riesenie rovnice z #1.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#19 05. 06. 2021 07:33

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

No, minimálně jsem zkoušel, že pro kružnici s racionálním poloměrem, tedy

[mathjax]x^2 + y^2 = r^2[/mathjax]

a přímku, která prochází racionálním bodem kružnice x0, y0 to platit bude, protože přímku [mathjax]ax+by+c=0[/mathjax] si můžeme vyjádřit i parametricky, tedy

[mathjax]x=x_0-bt[/mathjax]
[mathjax]y=y_0+at[/mathjax]

(a když bude racionální x0, y0 bude racionální i to c z rovnice přímky. Naopak to asi neplatí).

No a když to dosadíme do rovnice kružnice, dostaneme

[mathjax](x_0-bt)^2+(y_0+at)^2=r^2[/mathjax]

[mathjax]x_0^2 - 2bx_0t + b^2t^2 + y_0^2 + 2ay_0t + a^2t^2=r^2[/mathjax]

Na začátku jsme předpokládali, že jeden průsečík přímky s kružnici je racionální bod, což je ten x0, y0, takže pro něj platí, že

[mathjax]x_0^2 + y_0^2 =r^2[/mathjax]

Takže to nám z rovnice krásně vypadne, a zůstane jen

[mathjax] - 2bx_0t + b^2t^2 + 2ay_0t + a^2t^2=0[/mathjax]

Z čehož hned plyne, že jeden kořen je t=0, a zůstane už jen lineární rovnice

[mathjax]2ay_0 - 2bx_0 + (a^2+b^2)t=0[/mathjax]

takže druhé řešení (druhé t) musí být zase racionální, když jsou všechny koeficienty racionální. A tudíž i druhé řešení x1,y1 bude zase racionální.

Ale když na to koukám, tak ve výsledku nevystupuje to r, takže by nemělo záležet na tom, jestli je r racionální nebo né, pokud se nám podaří splnit to
[mathjax]x_0^2 + y_0^2 =r^2[/mathjax]
Tedy že stačí aby bylo racionální [mathjax]r^2[/mathjax]

Offline

 

#20 05. 06. 2021 07:48

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Když vezmeme tu původní kružnici [mathjax]x^2+y^2=1[/mathjax] a bod x0=0, y0=-1, dostaneme tedy pro druhý bod řešení

[mathjax]x=-\frac{2ab}{a^2+b^2}[/mathjax]

[mathjax]y=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}[/mathjax]

Zase mi to připadá, že na racionalitě toho c z původní rovnice přímky moc nezáleží.

Offline

 

#21 05. 06. 2021 18:44 — Editoval MichalAld (05. 06. 2021 18:45)

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Zkoušel jsem to ještě i přímo s obecnou rovnicí přímky ... a přijde mi to mnohem složitější, a kdybych nevěděl, co chci aby mi vyšlo, tak bych na to asi nepřišel.

Nicméně, máme kružnici [mathjax]x^2+y^2=r^2[/mathjax], přímku [mathjax]ax+by+c=0[/mathjax] a bod x0,y0, který náleží jak té kružnici tak přímce a zároveň má racionální souřadnice.

Potom tedy pro přímku musí platit, že [mathjax]ax_0+by_0+c=0[/mathjax], z čeho plyne, že [mathjax]c = -ax_0-by_0[/mathjax]. Pokud tedy budou a,b,x0,y0 racionální, bude racionální i c.

Teď tedy zkusíme najít ten druhý bod. Rovnici kružnice si trochu upravíme (protože už víme, co nás bude čekat...)

[mathjax]x^2+y^2=r^2[/mathjax]
[mathjax]b^2x^2+b^2y^2=b^2r^2[/mathjax]
[mathjax]b^2x^2+b^2y^2=b^2(x_0^2+y_0^2)[/mathjax]

rovnici přímky taky
[mathjax]ax+by+c=0[/mathjax]
[mathjax]ax+by-ax_0-by_0=0[/mathjax]
[mathjax]by=ax_0+by_0-ax[/mathjax]
[mathjax]by=by_0-a(x-x_0)[/mathjax]

Poslední úprava je klíčová ... protože až to dosadíme do rovnice kružnice, vznikne tam kupa členů ... a my víme, že x0 má být jeden z kořenů, takže výslednou rovnici by mělo být možné podělit tím kořenem (x-x0). Dále umocníme, ať to můžeme dosadit do kružnice...
[mathjax]b^2y^2=b^2y_0^2-2aby_0(x-x_0)+a^2(x-x_0)^2[/mathjax]

a po dosazení dostaneme:
[mathjax]b^2x^2 + b^2y_0^2-2aby_0(x-x_0)+a^2(x-x_0)^2=b^2x_0^2+b^2y_0^2[/mathjax]

člen [mathjax]b^2y_0^2[/mathjax] je na obou stranách rovnice, takže nám hezky vypadne, a člen [mathjax]b^2x_0^2[/mathjax] využijeme k vytvoření dalšího (x-x0):

[mathjax]b^2(x^2-x_0^2) + 2aby_0(x-x_0)+a^2(x-x_0)^2=0[/mathjax]

[mathjax]b^2(x+x_0) (x-x_0)+ 2aby_0(x-x_0)+a^2(x-x_0)^2=0[/mathjax]

Takto můžeme celou rovnici vykrátit tím kořenem (x-x0), který odpovídá prvním (známému) bodu, a zůstane nám lineární rovnice, která pokud bude mít racionální koeficienty nemůže vytvořit iracionální řešení (nemá tam žádnou odmocninu ani nic jiného, k výsledku se dobereme jen s využitím sčítání, násobení a dělení, což nám iracionální čísla nevytvoří).

Offline

 

#22 05. 06. 2021 18:49

MichalAld
Moderátor
Příspěvky: 3755
Reputace:   105 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

vanok napsal(a):

a) ak a,b,c su racionalne, tak druhy bod z [mathjax]D^* \cap C^*[/mathjax] je tiez racionalny. 
b) dokazte reciprocnu vetu vety a)

Po pravdě úplně nevím, jak ta reciproční věta má přesně znít...

Offline

 

#23 05. 06. 2021 20:40 — Editoval vanok (07. 06. 2021 00:00)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

Pozdravujem ↑ MichalAld:,
Pred tym, ako dam odpoved na #22, napisem ako predvidane v #18 mozne riesenie na otazky D) a E).

D) mozme predpokladat, [mathjax]z\ne 0[/mathjax],
a vtedy je jasne, ze [mathjax]x^2+y^2=z^2[/mathjax] su ekvivalentne [mathjax]({\frac xz})^2+({\frac yz})^2=1[/mathjax]


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#24 05. 06. 2021 21:14 — Editoval vanok (05. 06. 2021 21:47)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

E) urcime body $D_t \cap C$.
To nas vedie k rieseniu rovnice [mathjax]x^2+(tx-1)^2=1[/mathjax] co da : [mathjax]x=0[/mathjax] ako aj [mathjax]\frac {2t}{1+t^2}[/mathjax].
Preto body $D_t \cap C$ maju suradnice [mathjax](0;-1)[/mathjax] a [mathjax](\frac {2t}{1+t^2}; \frac {t^2-1}{1+t^2})[/mathjax].


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#25 06. 06. 2021 13:48 — Editoval vanok (07. 06. 2021 00:06)

vanok
Příspěvky: 14283
Reputace:   740 
 

Re: Pythagoras-ova rovnica

F a)

Rovnica kruznice $C^*$ je [mathjax](x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2[/mathjax] , kde   [mathjax]\alpha, \beta, r \in \Bbb Q[/mathjax]

Tak [mathjax]M(x,y) \in D^* \cap C^*[/mathjax] vtedy ak
[mathjax] (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=r^2 [/mathjax]
[mathjax]ax+by+ c=0[/mathjax].
Pre [mathjax]b \ne 0[/mathjax], ( pripad b=0, vam necham samym vyriesit) mame  [mathjax]y=- \frac abx-\frac cb[/mathjax]a x je rieseniec
[mathjax](x-\alpha)^2+(\frac abx+\frac cb +\beta)^2=r^2 [/mathjax],
cize
[mathjax](1+\frac {a^2}{b^2})x^2+2(\frac ab(\frac cb+\beta)-\alpha) x+\alpha ^2+(\frac cb +\beta)^2-r^2=0[/mathjax]
Na dokoncenie


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson