Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
🔒 23. 3. 2019 Přešli jsme na HTTPS. Prosíme o kontrolu funkčnosti fóra.
!! 17.06.2018 (Jel.) Khanova škola zve nadšence ke spolupráci na překladech návodů pro učitele a rodiče.
! 04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
17.01.2016 (Jel.) Rok 2016 s novými a novějšími krystaly od kolegy Pavla!
17.01.2016 (Jel.) Nabídka knih z oborů matematiky, fyziky, chemie
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 30. 10. 2009 20:31

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Rozklady na součty čtverců

Nechť c je přirozené číslo (nulu nepočítáme), navíc je c dělitelné nějakou mocninou dvojky, řekněme $2^k$, kde k je nějaké přirozené číslo. Rozhodněte, jestli platí

$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow (2^k|a \wedge 2^k|b)$.

kde a, b jsou přirozená čísla.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#2 02. 11. 2009 15:42

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Rozklady na součty čtverců



Existuje hezčí řešení na úrovni střední škloy indukcí podle k.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#3 02. 11. 2009 20:30 — Editoval Olin (02. 11. 2009 20:30)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Rozklady na součty čtverců

Dnes během cesty ze školy mě ta indukce snad napadla:



Mám to dobře? :-)


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#4 02. 11. 2009 23:05

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Rozklady na součty čtverců

Ten indukční krok mi připadá nějaký čudný.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#5 03. 11. 2009 21:32

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Rozklady na součty čtverců

OK, zkusím to trochu víc rozepsat.



Tvoje řešení je rozhodně hezčí, ale toto je snad taky správně, ne?


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#6 03. 11. 2009 21:55

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Rozklady na součty čtverců

↑ Olin:Jo, tohle je OK. V původní verzi jsem moc nerozuměl tomu "Pak mají obě po dělení $2^{2k}$ zbytek $2^k$", dávalo by mi tam smysl "Pak mají obě po dělení $2^{2k+2}$ zbytek $2^{2k}$".

Moje řešení je s tím srovnatelné, jde o ten trik, že součet lichých kvadrátů nemůže být dělitelný 4.

Pozdravuju do Prahy :o)


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

#7 04. 11. 2009 19:46

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   80 
 

Re: Rozklady na součty čtverců

Ano, jak si to teď procházím, zjišťuji, že jsem napsal blbost (ale myslel jsem to dobře :-)

Pozdravuji do Brna :-)


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#8 04. 11. 2009 21:46

Kondr
Moderátor
Místo: Linz, Österreich
Příspěvky: 4246
Škola: FI MU 2013
Pozice: Vývojář, JKU
Reputace:   38 
Web
 

Re: Rozklady na součty čtverců

Pěkným cvičením je rozmyslet, které číslo krom dvojky lze v zadání použít.


BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson